Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527321

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение

3 минус 2 косинус x=p левая круглая скобка 1 плюс tg в квадрате x правая круглая скобка

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение в виде

3 минус 2 косинус x= дробь: числитель: p, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .

Обозначая  косинус x=t и домножая на t в квадрате , получим:

3t в квадрате минус 2t в кубе =p.

Итак, нужно определить, какие значения принимает функция f левая круглая скобка t правая круглая скобка =3t в квадрате минус 2t в кубе на промежутке  левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка с выколотой точкой t=0. В ней она принимала бы значение 0, и больше нигде она это значение не принимает (t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби не входит в промежуток). Поэтому будем исследовать ее на всем отрезке  левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка , но число 0 не возьмем в ответ.

Далее,

f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =6t минус 6t в квадрате =6t левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка ,

поэтому производная положительна на  левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка и отрицательна на  левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка . Значит, функция убывает на  левая квадратная скобка минус 1;0 правая квадратная скобка и возрастает на  левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка . f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =5, f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1, f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0. Итак, функция принимает значения из промежутка  левая квадратная скобка 0;5 правая квадратная скобка .

 

Ответ: p принадлежит левая круглая скобка 0;5 правая квадратная скобка (напомним, что t=0 запрещено).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром