ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 527321 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение

$3 минус 2 косинус x=p левая круглая скобка 1 плюс tg в квадрате x правая круглая скобка$

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение в виде

$3 минус 2 косинус x= дробь: числитель: p, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$

Обозначая $косинус x=t$ и домножая на $t в квадрате ,$ получим:

$3t в квадрате минус 2t в кубе =p.$

Итак, нужно определить, какие значения принимает функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =3t в квадрате минус 2t в кубе$ на промежутке $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка$ с выколотой точкой $t=0.$ В ней она принимала бы значение 0, и больше нигде она это значение не принимает ( $t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ не входит в промежуток). Поэтому будем исследовать ее на всем отрезке $левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка ,$ но число 0 не возьмем в ответ.

Далее,

$f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =6t минус 6t в квадрате =6t левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка ,$

поэтому производная положительна на $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ и отрицательна на $левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка .$ Значит, функция убывает на $левая квадратная скобка минус 1;0 правая квадратная скобка$ и возрастает на $левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка .$ $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =5,$ $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1,$ $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0.$ Итак, функция принимает значения из промежутка $левая квадратная скобка 0;5 правая квадратная скобка .$

Ответ: $p принадлежит левая круглая скобка 0;5 правая квадратная скобка$ (напомним, что $t=0$ запрещено).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь