ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521912 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$4 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3a в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0.$

имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $t=2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка .$ Очевидно $0 меньше t меньше или равно 2,$ причем при $t=2$ имеем только $x=0,$ а при прочих допустимых t имеем два подходящих $x.$ Получаем уравнение $t в квадрате минус 3a в квадрате t плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0.$ Оно должно иметь ровно один корень на интервале $левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка$ и не иметь вторым корнем $t=2.$

Случай 1. $0=D=9a в степени 4 минус 4 левая круглая скобка 3a в кубе минус a в квадрате правая круглая скобка =a в квадрате левая круглая скобка 9a в квадрате минус 12a плюс 4 правая круглая скобка =a в квадрате левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$ При $a=0$ получаем $t=0$ и у исходного уравнения корней нет, а при $a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ получаем $t= дробь: числитель: 3a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ и у исходного уравнения два корня.

Случай 2. Корни различны, но ровно один из них лежит на нужном интервале. Сразу разберем случай, когда один из корней совпадает с $0$ или $2.$

Если $t=0,$ то либо $a=0$ (уже разобрано), либо $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ (тогда второй корень $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$ и у исходного уравнения два корня).

Если $t=2,$ то $4 минус 6a в квадрате плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0,$ $3a в кубе минус 7a в квадрате плюс 4=0,$ $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка =0.$ Поэтому при $a=1;2; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ исходное уравнение будет иметь $1$ или $3$ корня, это нас не устроит.

Теперь выясним, когда есть ровно один корень на $левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка .$ Для этого нужно, чтобы значения функции $t в квадрате минус 3a в квадрате t плюс 3a в кубе минус a в квадрате$ были разных знаков на концах отрезка. Итак, $левая круглая скобка 3a в кубе минус a в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3a в кубе минус 7a в квадрате плюс 4 правая круглая скобка меньше 0,$ $a в квадрате левая круглая скобка 3a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Окончательный ответ $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 237

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь