Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 521912

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

4 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3a в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0.

имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену t=2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка . Очевидно 0 меньше t меньше или равно 2, причем при t=2 имеем только x=0, а при прочих допустимых t имеем два подходящих x. Получаем уравнение t в квадрате минус 3a в квадрате t плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0. Оно должно иметь ровно один корень на интервале  левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка и не иметь вторым корнем t=2.

 

Случай 1. 0=D=9a в степени 4 минус 4 левая круглая скобка 3a в кубе минус a в квадрате правая круглая скобка =a в квадрате левая круглая скобка 9a в квадрате минус 12a плюс 4 правая круглая скобка =a в квадрате левая круглая скобка 3a минус 2 правая круглая скобка в квадрате . При a=0 получаем t=0 и у исходного уравнения корней нет, а при a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби получаем t= дробь: числитель: 3a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби и у исходного уравнения два корня.

 

Случай 2. Корни различны, но ровно один из них лежит на нужном интервале. Сразу разберем случай, когда один из корней совпадает с 0 или 2.

 

Если t=0, то либо a=0 (уже разобрано), либо a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби (тогда второй корень t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби и у исходного уравнения два корня).

Если t=2, то 4 минус 6a в квадрате плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0, 3a в кубе минус 7a в квадрате плюс 4=0,  левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка =0. Поэтому при a=1;2; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби исходное уравнение будет иметь 1 или 3 корня, это нас не устроит.

 

Теперь выясним, когда есть ровно один корень на  левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка . Для этого нужно, чтобы значения функции t в квадрате минус 3a в квадрате t плюс 3a в кубе минус a в квадрате были разных знаков на концах отрезка. Итак,  левая круглая скобка 3a в кубе минус a в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 3a в кубе минус 7a в квадрате плюс 4 правая круглая скобка меньше 0, a в квадрате левая круглая скобка 3a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3a плюс 2 правая круглая скобка меньше 0, a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .

 

Окончательный ответ a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 237.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром