Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 508283
i

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние a\left| x минус 1 |=x плюс 2 имеет ровно один ко­рень. Ука­жи­те этот ко­рень для каж­до­го та­ко­го зна­че­ния а.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  Пусть x мень­ше 1, тогда \left| x минус 1 |=1 минус x. Будем иметь: a минус ax=x плюс 2 рав­но­силь­но x плюс ax=a минус 2 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 1 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =a минус 2.

Если a= минус 1, то x умно­жить на 0=a минус 2 рав­но­силь­но a минус 2=0, что не­воз­мож­но, ре­ше­ний нет. Если же a не равно минус 1, то x= дробь: чис­ли­тель: a минус 2, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби .

По­сколь­ку нас ин­те­ре­су­ют зна­че­ния х, удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ству x мень­ше 1, решим не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: a минус 2, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби мень­ше 1.

дробь: чис­ли­тель: a минус 2, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби минус 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: a минус 2 минус a минус 1, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но a боль­ше минус 1.

2.  Пусть x боль­ше или равно 1, тогда \left| x минус 1 |=x минус 1. Далее: ax минус a=x плюс 2 рав­но­силь­но ax минус x=a плюс 2 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a плюс 2. Если a=1, то x умно­жить на 0=a минус 2 рав­но­силь­но a плюс 2=0, что также не­воз­мож­но, ре­ше­ний нет. Если a не равно 1, то x= дробь: чис­ли­тель: a плюс 2, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби . Решим не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: a плюс 2, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби боль­ше или равно 1.

дробь: чис­ли­тель: a плюс 2, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби минус 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: a плюс 2 минус a плюс 1, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a минус 1 конец дроби боль­ше 0 рав­но­силь­но a боль­ше 1.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние при a мень­ше или равно минус 1 кор­ней не имеет, при минус 1 мень­ше a мень­ше или равно 1 будет иметь ровно один ко­рень, рав­ный дробь: чис­ли­тель: a минус 2, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби , при a боль­ше 1  — более од­но­го корня.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a минус 2, зна­ме­на­тель: a плюс 1 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025