Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 508188
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3a минус \left| x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс 3a минус 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0

имеет ровно два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В кон­тек­сте дан­ной за­да­чи огра­ни­че­ний на х не про­смат­ри­ва­ют­ся, а на зна­че­ния па­ра­мет­ра а они видны. Най­дем их.

2a в квад­ра­те минус 3a минус 2 мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 16 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше 2.

Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное урав­не­ние так:

4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3a минус \left| x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс 3a минус 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0;

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3a минус \left| x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a минус 2a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ;

\log _2 левая круг­лая скоб­ка \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 | плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \left| x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 6x плюс 8 |=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3a минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a минус 2a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пусть \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 |=u, 3a минус 2a в квад­ра­те = v . Тогда за­дан­ное урав­не­ние при­мет вид:

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка u плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка v пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка v плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

За­ме­тим: при минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше 2 будет вы­пол­не­но не­ра­вен­ство v плюс 2 боль­ше 0; и так как u боль­ше или равно 0, то и u плюс 2 боль­ше 0.

Кроме того, левая часть ра­вен­ства (*) пред­став­ля­ет из себя про­из­ве­де­ние двух по­ло­жи­тель­ных и стро­го воз­рас­та­ю­щих функ­ций. Пра­вая часть  — ана­ло­гич­но про­из­ве­де­ние двух по­ло­жи­тель­ных и стро­го воз­рас­та­ю­щих функ­ций.

Между пе­ре­мен­ны­ми u и υ может быть толь­ко одно из трех от­но­ше­ний: либо u= v , либо u боль­ше v , либо u мень­ше v .

Если u боль­ше v , то в со­от­вет­ствии со ска­зан­ным выше по­лу­чим:

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка u плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка v пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка v плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что не­воз­мож­но.

Если же u мень­ше v , то

2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка u пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка u плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка v пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка v плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что также не­воз­мож­но.

Зна­чит, верно един­ствен­ное от­но­ше­ние: u= v .

Таким об­ра­зом, мы при­хо­дим к ре­зуль­та­ту: \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 |=3a минус 2a в квад­ра­те . Это зна­чит, что

3a минус 2a в квад­ра­те боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но a левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, до­пу­сти­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра а, по срав­не­нию с ука­зан­ным выше, сузи­лись до от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Те­перь рас­смот­рим урав­не­ние \left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 8 |=3a минус 2a в квад­ра­те .

При­ве­дем его к виду:

\left| x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 минус 1 |=3a минус 2a в квад­ра­те рав­но­силь­но \left| левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 |=3a минус 2a в квад­ра­те .

Ис­сле­ду­ем урав­не­ние \left| левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 |=t,t боль­ше или равно 0 на ко­ли­че­ство дей­стви­тель­ных кор­ней.

В за­ви­си­мо­сти от зна­че­ний t ко­ли­че­ство кор­ней у урав­не­ния \left| левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 |=tбудет раз­лич­ным.

Итак, \left| левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 |=t рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1=t , новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1= минус t конец си­сте­мы . новая стро­ка t боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти .

Если левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1=0, что имеет место при t=0, то урав­не­ние \left| левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 |=t будет рав­но­силь­ным урав­не­нию левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1, ко­то­рые имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Сле­до­ва­тель­но, при 3a минус 2a в квад­ра­те =0, т. е. при t=0или t= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ис­ход­ное урав­не­ние также имеет два раз­лич­ных корня.

Если же левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 не равно 0, то

\left| левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 |=t рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1=t , новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1= минус t конец си­сте­мы . , новая стро­ка t боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =t плюс 1 , новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 минус t конец си­сте­мы . новая стро­ка t боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка

Из си­сте­мы (**) ясно, что при t боль­ше 1 урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 минус t ре­ше­ний иметь не будет, тогда как урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =t плюс 1 будет иметь ровно два дей­стви­тель­ных корня.

Сле­до­ва­тель­но, при вы­пол­не­нии усло­вия

3a минус 2a в квад­ра­те боль­ше 1 рав­но­силь­но 2a в квад­ра­те минус 3a плюс 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но 2a в квад­ра­те минус 3a плюс 1 мень­ше 0 рав­но­силь­но

дробь: чис­ли­тель: 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a мень­ше 1.

По­лу­чен­ный ре­зуль­тат сви­де­тель­ству­ет о том, что при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ис­ход­ное урав­не­ние имеет два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

Вер­нем­ся к си­сте­ме вновь (**) и за­ме­тим, что при t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка и пер­вое урав­не­ние, и вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти (дизъ­юнк­ции двух пре­ди­ка­тов) будет иметь ровно по 2 раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

А это зна­чит, что при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ис­ход­ное урав­не­ние имеет более двух дей­стви­тель­ных кор­ней.

От­ме­тим также, что по­лу­чен­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра а яв­ля­ют­ся под­мно­же­ства­ми мно­же­ства до­пу­сти­мых зна­че­ний для па­ра­мет­ра, по­лу­чен­ных выше.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025