Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 514056

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

x в квадрате минус 5x плюс 10= дробь: числитель: a плюс 19, знаменатель: x плюс 2 конец дроби

имеет ровно два корня на отрезке  левая квадратная скобка минус 1;2,5 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Поскольку x= минус 2 нас все равно не интересует, можно переписать уравнение в виде

 левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 19=a,

x в кубе минус 3x в квадрате плюс 1=a.

Исследуем поведение функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3x в квадрате плюс 1 на указанном отрезке. Возьмем ее производную.

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 6x=3x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .

Поэтому функция возрастает на  левая квадратная скобка минус 1;0 правая квадратная скобка и  левая квадратная скобка 2;2.5 правая квадратная скобка и убывает на  левая квадратная скобка 0;2 правая квадратная скобка .

f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 3,f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = минус 3,f левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби .

Отсюда следует, что ровно два решения на отрезке будет при a= минус 3 и a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром