ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505626 Добавить в вариант

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$x|x плюс 2a| плюс 1 минус a=0$

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $x плюс 2a=t.$ Уравнение примет вид $левая круглая скобка t минус 2a правая круглая скобка |t| плюс 1 минус a=0,$ число корней при этом не изменится. Сразу заметим, что при $a=1$ есть корни $t=0$ и $t=2,$ поэтому $a=1$ не подходит. При других a $t=0$ не является корнем. Теперь уравнение распадается на два случая.

$t в квадрате минус 2at плюс 1 минус a=0$ при положительных t и $t в квадрате минус 2at плюс a минус 1=0$ при отрицательных t.

Если $a больше 1,$ то у первого уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них положительный. При этом у второго уравнения дискриминант $4a в квадрате минус 4a плюс 4 больше 0$ корни есть, их сумма $2a больше 0,$ произведение $a минус 1 больше 0,$ значит, они оба положительны, и нам не подходят. Итак, есть ровно один корень.

Если $a меньше 1,$ то у второго уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них отрицательный. При этом у первого уравнения дискриминант $4a в квадрате плюс 4a минус 4.$ Если у него есть корни, их сумма 2a, произведение $1 минус a больше 0,$ значит, они одного знака  — того же, что и число a. Поэтому все $a меньше 0$ нам подходят (если даже есть корни, то они отрицательны), а из $a больше или равно 0$ подходят лишь те, для которых $a в квадрате плюс a минус 1 меньше 0,$ то есть $a меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь