Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527610
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

ко­си­нус в квад­ра­те x минус a в квад­ра­те ко­си­нус x плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка =0

имеет ровно одно ре­ше­ние на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну t= ко­си­нус x. Нас будут ин­те­ре­со­вать ре­ше­ния урав­не­ния t в квад­ра­те минус a в квад­ра­те t плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При­чем если t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка , то каж­до­му та­ко­му t со­от­вет­ству­ет два корня ис­ход­но­го урав­не­ния  — один на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , а вто­рой на левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Если же t=1 или t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то та­ко­му t будет со­от­вет­ство­вать один ко­рень ис­ход­но­го урав­не­ния. Про­чим t не со­от­вет­ству­ет ни од­но­го корня. По­это­му нам нужно, чтобы наше урав­не­ние не имело кор­ней на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка и имело ровно один ко­рень на левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде

левая круг­лая скоб­ка t минус левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a плюс 12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус левая круг­лая скоб­ка a минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

по­это­му его корни это t=a минус 12 и t=a в квад­ра­те минус a плюс 12.

Для на­ча­ла вы­яс­ним, когда урав­не­ние имеет ко­рень t=1. Под­став­ляя, по­лу­чим либо a=13 и вто­рой ко­рень t=170, либо a в квад­ра­те минус a плюс 11=0, что не­воз­мож­но. Пер­вый слу­чай нам под­хо­дит. Далее вы­яс­ним, когда корни сов­па­да­ют. Тогда

a минус 12=a в квад­ра­те минус a плюс 12 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 2a плюс 24=0,

что не­воз­мож­но.

На­ко­нец, вы­яс­ним, когда эти корни лежат на левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Оче­вид­но,

a в квад­ра­те минус a плюс 12= левая круг­лая скоб­ка a минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс целая часть: 11, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

по­это­му этот ко­рень на нуж­ном от­рез­ке не лежит ни­ко­гда.

Если же a минус 12 при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 12; целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и a в квад­ра­те минус a плюс 12 боль­ше целая часть: 11, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 , по­это­му a в квад­ра­те минус a плюс 12\not при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, все такие a нам под­хо­дят.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 12; целая часть: 12, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 13 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 276
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025