Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527506

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

 левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка 3 косинус x плюс 4 синус в квадрате x минус 8 правая круглая скобка

имеет на промежутке  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену t принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка = косинус x. Уравнение примет вид:

 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка 3t плюс 4 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .

Каждому его корню на  левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка соответствует единственное значение x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , поэтому это уравнение должно иметь единственный корень на  левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка . Далее:

t в квадрате минус 2t плюс 1=a левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка .

Очевидно выражение в скобках отрицательно, на него можно поделить. Получаем

a= дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 конец дроби

Исследуем функцию

f левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 конец дроби

на промежутке  левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка . Имеем:

f' левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 2t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 8t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =

= дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 8t в квадрате плюс 6t минус 8 плюс 8t в квадрате минус 3t минус 8t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =

= дробь: числитель: минус 5 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 0 при t принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .

Значит, f левая круглая скобка t правая круглая скобка возрастает на этом промежутке, поэтому при всех a принадлежит левая квадратная скобка f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ;f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка уравнение будет иметь единственный корень, а при прочих a вообще не будет иметь корней. Далее:

f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =0.

 

Ответ: a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром