Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505800
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние 5|x минус 3a| плюс |x минус a в квад­ра­те | плюс 4x=a не имеет ре­ше­ний.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что в левой части урав­не­ния за­пи­са­на не­пре­рыв­ная функ­ция, ли­ней­ная на про­ме­жут­ках, не cодер­жа­щих точек x=a в квад­ра­те или x=3a, при­чем при xarrow \pm бес­ко­неч­ность ty зна­че­ния функ­ции не­огра­ни­чен­но воз­рас­та­ют (при по­ло­жи­тель­ных x это оче­вид­но, при от­ри­ца­тель­ных функ­ция упро­ща­ет­ся до 15a плюс a в квад­ра­те минус 2x, что тоже ве­ли­ко при силь­но от­риц­тель­ных x). По­это­му если она не при­ни­ма­ет ка­ко­го-то зна­че­ния (а имен­но зна­че­ния a), то ее зна­че­ния все­гда либо боль­ше него, либо мень­ше (вто­рое не­воз­мож­но).

Для того, чтобы все ее зна­че­ния были боль­ше a, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы ее наи­мень­шее зна­че­ние было боль­ше a.

Но наи­мень­шее зна­че­ние она, оче­вид­но, при­ни­ма­ет в одной из точек, где ме­ня­ет знак под­мо­дуль­ное вы­ра­же­ние (между та­ки­ми точ­ка­ми она ли­ней­на и по­то­му мо­но­тон­на). Итак, нам нужно вы­пол­не­ние двух усло­вий (если мы за­од­но про­ве­рим точку, в ко­то­рой нет наи­мень­ше­го зна­че­ния, хуже от этого не ста­нет).

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка |3a минус a в квад­ра­те | плюс 12a боль­ше a, новая стро­ка 5|a в квад­ра­те минус 3a| плюс 4a в квад­ра­те боль­ше a \endaligned .

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка |a в квад­ра­те минус 3a| плюс 11a боль­ше 0, новая стро­ка 5|a в квад­ра­те минус 3a| плюс 4a в квад­ра­те минус a боль­ше 0. \endaligned .

Слу­чай 1). a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка 14a минус a в квад­ра­те боль­ше 0, новая стро­ка 14a минус a в квад­ра­те боль­ше 0. \endaligned .

Верно при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Слу­чай 2) a\not при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка a в квад­ра­те плюс 8a боль­ше 0, новая стро­ка 9a в квад­ра­те минус 16a боль­ше 0 \endaligned .

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка a левая круг­лая скоб­ка a плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка 3a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3a плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0. \endaligned .

По­лу­ча­ем a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Итак, окон­ча­тель­ный ответ a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 74
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025