ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506060 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате минус 6|x| минус a правая круглая скобка в квадрате плюс 12 левая круглая скобка x в квадрате минус 6|x| минус a правая круглая скобка плюс 37= косинус дробь: числитель: 18 Пи , знаменатель: a конец дроби$

имеет ровно два корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате минус 6|x| минус a плюс 6 правая круглая скобка в квадрате = косинус дробь: числитель: 18 Пи , знаменатель: a конец дроби минус 1.$

Левая часть неотрицательна, правая  — неположительна. Поэтому они могут быть равны только если

$x в квадрате минус 6|x| минус a плюс 6=0$ и $дробь: числитель: 18 Пи , знаменатель: a конец дроби =2 Пи k,$

то есть $a= дробь: числитель: 9, знаменатель: k конец дроби$ при некотором целом k.

Итак, уравнение $x в квадрате минус 6|x| минус дробь: числитель: 9, знаменатель: k конец дроби плюс 6=0$ должно иметь ровно два корня.

Заметим, что если x является его корнем, то и $минус x$ тоже является. Поэтому, во-первых, $x=0$ не должно быть корнем (иначе корней будет нечетное количество), а во-вторых, уравнение $x в квадрате минус 6x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: k конец дроби плюс 6=0$ должно иметь ровно один положительный корень.

Случай 1. Корень вообще единственный. Тогда $36 плюс дробь: числитель: 36, знаменатель: k конец дроби минус 24=0,$ откуда $k= минус 3$ и $a= минус 3.$ Корень $x=3 больше 0.$

Случай 2. Корней два, но они разных знаков. Тогда $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: k конец дроби плюс 6 меньше 0.$ При целом k это возможно лишь при $k=1,$ то есть при $a=9.$ Уравнение $x в квадрате минус 6x минус 3$ действительно имеет ровно один положительный корень.

Случай 3. Корней два, один из них равен нулю. Тогда $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: k конец дроби плюс 6=0,$ что невозможно при целом k.

Ответ: $a= минус 3;$ $a=9.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 36

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь