ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 511866 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $2|2|x| минус a в квадрате |=x минус a$ имеет ровно три корня.

Спрятать решение

Решение.

Если $a=0,$ то уравнение принимает вид $x=4|x|$ и имеет один корень.

В остальных случаях представим график обеих частей уравнения.

График правой части  — прямая, параллельная прямой $y=x.$

График функции $2|x| минус a в квадрате$   — два луча с общим началом в точке $левая круглая скобка 0; минус a в квадрате правая круглая скобка$ и угловыми коэффициентами $\pm 2.$

Поэтому график правой части  — два луча (с началами в точках $левая круглая скобка \pm дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка$ и угловыми коэффициентами $\pm 4 правая круглая скобка$ и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой $левая круглая скобка 0;2a в квадрате правая круглая скобка .$

Из графика правой части видно, что прямая, параллельная $y=x,$ имеет с ним ровно три общих точки тогда и только тогда, когда проходит либо через $левая круглая скобка 0;2a в квадрате правая круглая скобка ,$ либо через $левая круглая скобка минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$ Осталось выяснить, при каких a это происходит.

В первом случае $минус a=2a в квадрате ,$ откуда $a=0$ (уже разбиралось) либо $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ (подходит).

Во втором случае $минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус a=0,$ откуда $a=0$ (уже разбиралось) либо $a= минус 2$ (подходит).

Ответ: $a= минус 2или a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь