ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 527289 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$a в квадрате \ctg в квадрате x минус 9a плюс a в квадрате =4a синус x$

имеет хотя бы один корень.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде

$a в квадрате левая круглая скобка \ctg в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка =a левая круглая скобка 4 синус x плюс 9 правая круглая скобка .$

1.  При $a меньше 0$ левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна. Значит, при $a меньше 0$ решений нет.

2.  При $a=0$ уравнение превращается в истинное равенство при всех допустимых значениях $x.$ Значит, при $a=0$ уравнение имеет корни. Например, корнем является число $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

3.  Рассмотрим случай $a больше 0.$ Поделим обе части уравнения на a и уединим параметр:

$a левая круглая скобка \ctg в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка =4 синус x плюс 9 равносильно a левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби правая круглая скобка =4 синус x плюс 9 равносильно система выражений a= синус в квадрате x умножить на левая круглая скобка 4 синус x плюс 9 правая круглая скобка , синус x не равно 0. конец системы .$ $a левая круглая скобка \ctg в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка =4 синус x плюс 9 равносильно a левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби правая круглая скобка =4 синус x плюс 9 равносильно$
$равносильно система выражений a= синус в квадрате x умножить на левая круглая скобка 4 синус x плюс 9 правая круглая скобка , синус x не равно 0. конец системы .$ $a левая круглая скобка \ctg в квадрате x плюс 1 правая круглая скобка =4 синус x плюс 9 равносильно$
$равносильно a левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате x конец дроби правая круглая скобка =4 синус x плюс 9 равносильно$
$равносильно система выражений a= синус в квадрате x умножить на левая круглая скобка 4 синус x плюс 9 правая круглая скобка , синус x не равно 0. конец системы .$

Введём функцию $a левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате левая круглая скобка 4t плюс 9 правая круглая скобка$ и переформулируем задачу: требуется найти множество значений функции $a левая круглая скобка t правая круглая скобка$ при $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка .$ Исследуем функцию с помощью производной:

$a' левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка t в квадрате умножить на левая круглая скобка 4t плюс 9 правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 4t в кубе плюс 9t в квадрате правая круглая скобка '=12t в квадрате плюс 18t=6t левая круглая скобка 2t плюс 3 правая круглая скобка .$

Критические точки: $t= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , t=0.$ Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции на исследуемом промежутке:

Вычислим значения: $a левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =5,a левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0, a левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =13.$ Таким образом, при $t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка$ множество значений функции представляет собой полуинтервал $левая круглая скобка 0; 13 правая квадратная скобка .$

Суммируя результаты всех трёх случаев, получаем, что исходное уравнение имеет хотя бы один корень при $0 меньше или равно a меньше или равно 13.$

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка 0;13 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 278

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь