ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 527455 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$\left| дробь: числитель: x левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби минус 2a|=a в квадрате плюс 1$

имеет нечетное число решений.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку

$дробь: числитель: минус x левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: минус x левая круглая скобка 1 минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 1 плюс 3 в степени x конец дроби = дробь: числитель: x левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби ,$

то при подстановке x и $минус x$ в уравнение результат будет одинаковым. То есть все решения разбиваются на пары, кроме решения $x=0,$ которое является парой само к себе. Значит, $x=0$ обязано подходить в уравнение. Тогда $|0 минус 2a|=a в квадрате плюс 1,$ откуда $a=\pm 1.$ Осталось убедиться, что при таких a решений будет конечное число.

Пусть $a=1.$ Тогда

$\left| дробь: числитель: x левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби минус 2|=2 равносильно совокупность выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби =0, дробь: числитель: x левая круглая скобка 3 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби =4. конец совокупности .$

Первое уравнение имеет корнем только $x=0.$ Второе можно записать в виде $x минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби =4.$ Докажем, что у него конечное количество положительных корней (отрицательные  — парные к ним). Ясно что $x меньше 4$ не подходят. Возьмем производную:

$левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка '=1 минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка минус 2x умножить на 3 в степени x натуральный логарифм 3, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =1 плюс дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2x умножить на 3 в степени x натуральный логарифм 3, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$ $левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2x, знаменатель: 3 в степени x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка '=1 минус дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка минус 2x умножить на 3 в степени x натуральный логарифм 3, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$
$=1 плюс дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2x умножить на 3 в степени x натуральный логарифм 3, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$

$=1 плюс дробь: числитель: 3 в степени x левая круглая скобка 2x натуральный логарифм 3 минус 2 правая круглая скобка минус 2, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3 в степени x левая круглая скобка 8 натуральный логарифм 3 минус 2 правая круглая скобка минус 2, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно дробь: числитель: 3 в степени 4 умножить на 6 минус 2, знаменатель: левая круглая скобка 3 в степени x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 0$

Значит, при $x больше или равно 4$ есть еще не более одного решения. Аналогично разбирается случай $a= минус 1.$

Ответ: $a=\pm 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 262

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь