а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния На ребре  BC от­ме­че­на точка  M так, что BC : MC  =  3 : 1, а на ребре  AC от­ме­че­на точка  N так, что AN : NC  =  2 : 1. Точка  K  — се­ре­ди­на ребра  AB, точка  О  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая OK па­рал­лель­на плос­ко­сти MNC₁.

б)  Найти угол между пря­мой OK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNC₁ равна

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Точки L и M яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­на­ми сто­рон BC и AD. От­ре­зок LM со­дер­жит точку K. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD таков, что в него можно впи­сать окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если и

Алек­сей решил взять кре­дит в банке 100 тысяч руб­лей на 4 ме­ся­ца под 5% в месяц. Су­ще­ству­ют две схемы вы­пла­ты кре­ди­та. По пер­вой схеме банк в конце каж­до­го ме­ся­ца на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк фик­си­ро­ван­ную сумму и в ре­зуль­та­те вы­пла­чи­ва­ет весь долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми. По вто­рой схеме тоже сумма долга в конце каж­до­го ме­ся­ца уве­ли­чи­ва­ет­ся на 5%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Алек­се­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Какую схему вы­год­нее вы­брать Алек­сею? Сколь­ко руб­лей будет со­став­лять эта вы­го­да?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

У каж­до­го уча­ще­го­ся в клас­се дома живет кошка или со­ба­ка, а у не­ко­то­рых, воз­мож­но, живет и кошка, со­ба­ка. Из­вест­но, что маль­чи­ков, име­ю­щих собак, не более от об­ще­го числа уча­щих­ся, име­ю­щих собак, а маль­чи­ков, име­ю­щих кошек, не более от об­ще­го числа уча­щих­ся, име­ю­щих кошек.

а)  Может ли в клас­се быть 11 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в клас­се 21 уча­щий­ся?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков может быть в клас­се, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего в клас­се 21 уча­щий­ся?

в)  Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа уча­щих­ся без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?