ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505994 Добавить в вариант

При каких значениях a уравнение

$синус в квадрате 3x минус левая круглая скобка a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка синус 3x плюс дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =0$

имеет ровно три корня, расположенных на отрезке $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно Пи$ ?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $синус 3x$ на указанном отрезке принимает все значения из $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка$ по два раза, а значение 1  — один раз.

Преобразуем уравнение

$левая круглая скобка синус 3x минус 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 3x минус a правая круглая скобка =0.$

Первый множитель имеет на указанном промежутке два корня. Значит, второй должен иметь один корень (совпадать корни двух множителей не могут если только $a не равно 0,5,$ если же $a=0,5,$ то второй множитель не добавит корней). То есть $a=1.$

Ответ: $a=1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 25

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь