Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527638

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

ax=x корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе

имеет четное число решений.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

 ax=x корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе равносильно совокупность выражений x=0,a= корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе . конец совокупности .

В системе координат xOa графиком полученной совокупности, а значит, и графиком исходного уравнения является объединение вертикальной прямой x=0 и графика функции a левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе . Для построения эскиза графика исследуем функцию a левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе с помощью производной.

Найдём область определения функции:

x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе \geqslant0 равносильно x левая круглая скобка 2x в степени 4 минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно x левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 1,0 меньше или равно x\leqslant1. конец совокупности .

Найдём производную:

a' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе правая круглая скобка '= дробь: числитель: минус 10x в степени 4 плюс 3x в квадрате плюс 1, знаменатель: 2 корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе конец дроби = дробь: числитель: минус 10 левая круглая скобка x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе конец дроби = минус дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 5x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе конец дроби .

 

Заметим, что точка x= минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби не входит в область определения функции. Значит, единственной критической точкой является  x= дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . Отметим на рисунке знаки производной и поведение функции:

Вычислим значения: a левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 0, a левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = 0, a левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =0, a левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Заметим, что при x \to минус бесконечность значения a \to плюс бесконечность .

Эскиз графика исходного уравнения изображён на рисунке синим цветом. Число корней уравнения в зависимости от параметра a определим по числу точек пересечения графика уравнения с соответствующими горизонтальными прямыми (некоторые из этих прямых изображены на рисунке красным цветом).

Таким образом, исходное уравнение:

− при a меньше 0 имеет один корень;

− при a=0 — три корня;

− при 0 меньше a меньше корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка  — четыре корня;

− при a= корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка  — три корня;

− при a больше корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка  — два корня.

Значит, чётное число решений уравнение имеет при 0 меньше a меньше корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка или a больше корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Приведём другое решение.

Заметим, что

 ax=x корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе равносильно совокупность выражений x=0,a= корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе . конец совокупности .

Тем самым, при любом значении параметра число 0 является решением уравнения. Следовательно, чтобы число решений было четным, уравнение a= корень из x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе должно иметь нечетное число решений при x не равно 0. Для этого уравнение x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе =b (*) должно иметь нечетное число решений на области определения исходного уравнения за исключением точки 0.

Найдём область определения исходного уравнения:

x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе \geqslant0 равносильно x левая круглая скобка 2x в степени 4 минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 1,0 меньше или равно x\leqslant1. конец совокупности .

Построим эскиз графика функции y=x минус 2x в степени 5 плюс x в кубе . Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции:

y' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 10x в степени 4 плюс 3x в квадрате плюс 1.

Обозначая t=x в квадрате и решая уравнение  минус 10t в квадрате плюс 3t плюс 1=0, находим: t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби или t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , откуда, возвращаясь к исходной переменной, получаем x = \pm дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . Знаки производной и поведение функции укажем на рисунке.

Найдём экстремумы функции:

y_max=y левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,

y_min=y левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Эскиз графика функции y(x) изображён на рисунке. Заметим, что y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =0 и выделим цветом части графика для x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка . Количество решений уравнения (*) равно количеству точек пересечения выделенной части графика с горизонтальными прямыми y=b, оно нечётно при b больше 0, b не равно корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Возвращаясь к параметру a, находим: 0 меньше a не равно корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка 0; корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром