ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 641417 Добавить в вариант

Найдите все действительные значения параметра a, при которых уравнение

$x левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка минус a x в степени 6 плюс a в степени 4 правая круглая скобка = 0$

имеет ровно пять различных действительных корней, образующих арифметическую прогрессию.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что корнями данного уравнения являются числа 0, $\pm корень 6 степени из: начало аргумента: t_1 конец аргумента$ и $\pm корень 6 степени из: начало аргумента: t_2 конец аргумента ,$ где t₁ и t₂ корни уравнения $t в квадрате минус at плюс a в степени 4 = 0.$ Тогда эти пять чисел будут действительными и образовывать арифметическую прогрессию при (без ограничения общности) $корень 6 степени из: начало аргумента: t_2 конец аргумента = 2 корень 6 степени из: начало аргумента: t_1 конец аргумента ,$ откуда $t_2 = 64t_1,$ и $t_1 больше 0.$

Запишем теорему Виета: $a = 65t_1$ и $a в степени 4 = 64t_1 в квадрате ,$ откуда $a в степени 4 = дробь: числитель: 64a в квадрате , знаменатель: 65 в квадрате конец дроби ,$ то есть $a = 0$ или $a = \pm дробь: числитель: 8, знаменатель: 65 конец дроби .$ Учитывая ограничение $t_1 больше 0,$ получаем ответ: $a = дробь: числитель: 8, знаменатель: конец дроби 65.$

Ответ: $дробь: числитель: 8, знаменатель: конец дроби 65.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 429

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь