Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пря­мая приз­ма АВСA₁B₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей АВС₁ и А₁В₁С па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми АВС₁ и А₁В₁С, если из­вест­но, что АС  =  1, ВС  =  2, АВ  =   СС₁  =  3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках А, В и С и ра­ди­у­са­ми, рав­ны­ми а, b и с со­от­вет­ствен­но, по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точка К, М, Р.

а)   До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка КМР к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС равно

б)   Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка КМР, если из­вест­но, что а  =  6, b  =  7, с  =  1.

В июне пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 5 млн. руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 10% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по май каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­чи­вать часть долга.

  — в июне каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июнь преды­ду­ще­го года.

На сколь­ко лет был взят кре­дит, если из­вест­но, что сумма вы­плат банку сверх взя­то­го кре­ди­та после его пол­но­го по­га­ше­ния со­ста­ви­ла 3 млн. руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

На доске за­пи­са­но не­сколь­ко (не менее трёх) раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 100, среди ко­то­рых есть число 51.

Из­вест­но, что сумма любых двух из за­пи­сан­ных чисел де­лит­ся на какое‐либо из остав­ших­ся чисел (*).

а)  Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно три числа?

б)  Может ли на доске быть на­пи­са­но ровно 51 число?

в)  Петя за­пи­сал на доске все числа от 1 до 99 и про­ве­рил, что для них вы­пол­ня­ет­ся усло­вие (*). Миша стёр одно число, после чего усло­вие (*) пе­ре­ста­ло вы­пол­нять­ся. Какое число мог сте­реть Миша?