ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505928 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при котором уравнение

$a плюс корень из: начало аргумента: 6x минус x в квадрате минус 8 конец аргумента =3 плюс корень из: начало аргумента: 1 плюс 2ax минус a в квадрате минус x в квадрате конец аргумента$

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Переобозначим $t=x минус 3, b=a минус 3.$ На количество решений это не повлияет: $корень из: начало аргумента: 1 минус t в квадрате конец аргумента плюс b= корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .$

Будем пока считать, что $b меньше 0.$ Перенося и возводя в квадрат, получим

$1 минус t в квадрате =1 минус левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате плюс b в квадрате минус 2b корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$

$равносильно 2bt=2b корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$

$равносильно t= корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$

$равносильно t в квадрате =1 минус левая круглая скобка t минус b правая круглая скобка в квадрате .$

Нас интересует, при каких отрицательных b это уравнение будет иметь ровно один неотрицательный корень: $2t в квадрате минус 2bt плюс b в квадрате минус 1=0.$

Нужно, чтобы:

1)  корни были, но их произведение было отрицательным либо;

2)  был единственный корень и он был бы положительным либо;

3)  было два корня  — $0$ и отрицательное число.

Это дает нам:

1)   $4b в квадрате минус 8 левая круглая скобка b в квадрате минус 1 правая круглая скобка больше 0,$ $0.5 левая круглая скобка b в квадрате минус 1 правая круглая скобка меньше 0,$ откуда $b принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка ;$

2)   $4b в квадрате минус 8 левая круглая скобка b в квадрате минус 1 правая круглая скобка =0,$ $b= минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ но единственный корень отрицателен;

3)   $b в квадрате минус 1=0,$ $b= минус 1,$ второй корень отрицателен.

Итак, годятся числа $b принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка .$

Пусть теперь b положительно. Заменяя b на $минус b$ и t на $b минус t,$ получим такое же уравнение с отрицательным $b.$

Поэтому ответ $b принадлежит левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка$ и $a принадлежит левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 14

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь