Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527420

При каких значениях параметра a уравнение

 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на 4 в степени x плюс левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка умножить на 6 в степени x = левая круглая скобка 3a минус 4 правая круглая скобка умножить на 9 в степени x

имеет единственное решение?

Спрятать решение

Решение.

Поделим уравнение на 4 в степени x и сделаем замену t= левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x . Получим уравнение

 левая круглая скобка 3a минус 4 правая круглая скобка t в квадрате минус левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка t минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.

При a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби уравнение примет вид

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби =0 равносильно t=1,

следовательно, x=0 — единственный корень.

При прочих a это квадратное уравнение. Оно должно иметь единственный положительный корень (каждому положительному t соответствует единственное x, а неположительному — ни одного). Вычислим его дискриминант:

D= левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3a минус 4 правая круглая скобка =16a в квадрате минус 40a плюс 25= левая круглая скобка 4a минус 5 правая круглая скобка в квадрате .

Значит, его корни будут

t= дробь: числитель: 2a минус 3\pm левая круглая скобка 4a минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: 6a минус 8 конец дроби равносильно совокупность выражений t=1,t= дробь: числитель: 1 минус a, знаменатель: 3a минус 4 конец дроби . конец совокупности .

Первый корень точно подходит. Значит, второй либо тоже равен единице (тогда D=0, то есть 4a минус 5=0, a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ) либо неположителен (что бывает при a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка ).

Окончательно подходят: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром