ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505788 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3a минус 1 правая круглая скобка в квадрате логарифм по основанию левая круглая скобка 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0$

имеет решение.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку $2x минус x в квадрате меньше или равно 1$ и $1 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 1,$ то оба логарифма неположительны. С другой стороны, $левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка в квадрате$ и $левая круглая скобка 3a минус 1 правая круглая скобка в квадрате$ неотрицательны. Поэтому все выражение неположительно и может быть равно нулю только если в каждом произведении есть нулевой множитель. Это дает два варианта.

1)   $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Тогда можно взять x  =  1.

2)  a любое другое число. Тогда необходимо $1 минус дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = 1,$ то есть x  =  0. Но такое x не входит в ОДЗ.

Ответ: $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 72

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь