Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505812
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых среди кор­ней урав­не­ния

синус 2x плюс 4a синус x минус ко­си­нус x минус 2a=0

най­дут­ся два корня, раз­ни­ца между ко­то­ры­ми равна дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

2 синус x ко­си­нус x плюс 4a синус x минус ко­си­нус x минус 2a=0,

левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс 2a пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Кор­ня­ми урав­не­ния 2 синус x минус 1=0 яв­ля­ют­ся числа дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z . Они не могут от­ли­чать­ся друг от друга на дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Они от­ли­ча­ют­ся на дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби от чисел вида \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z , ко­си­ну­сы ко­то­рых равны \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му такие числа будут кор­ня­ми ис­ход­но­го урав­не­ния при a=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

На­ко­нец, воз­мож­на си­ту­а­ция, когда два корня урав­не­ния ко­си­нус x плюс 2a=0 от­ли­ча­ют­ся на дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­сколь­ку точки, изоб­ра­жа­ю­щие корни этого урав­не­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти, сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но го­ри­зон­таль­ной оси, это воз­мож­но толь­ко если x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи m, m при­над­ле­жит Z то есть при a=\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 76
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025