Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527462
i

Най­ди­те все a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

\lg левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2ax плюс 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =x умно­жить на \lg левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде

\lg левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2ax плюс 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0

и решим его. Пер­вый мно­жи­тель об­ну­ля­ет­ся толь­ко при x=1. Вто­рой дает урав­не­ние:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2ax плюс 3a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =x рав­но­силь­но 2ax плюс 3a в квад­ра­те минус x в квад­ра­те =0\undersetx боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но

\undersetx боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3a пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус a,x=3a. конец со­во­куп­но­сти .

Итого по­тен­ци­аль­но есть три корня, но не­ко­то­рые из них могут быть по­сто­рон­ни­ми. Раз­бе­рем не­сколь­ко слу­ча­ев.

Если a=0, то по­лу­ча­ем корни x=0 и x=1. Все в по­ряд­ке.

Если a боль­ше 0, то x= минус a по­сто­рон­ний. Зна­чит, x=3a и x=1 не долж­ны быть по­сто­рон­ни­ми или сов­па­дать. То есть 3a мень­ше 2 (иначе не опре­де­лен ло­га­рифм), 3a не равно 1 (то есть a не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ) и 2a плюс 3a в квад­ра­те боль­ше или равно 0 (иначе не опре­де­лен ко­рень). По­лу­ча­ем в итоге a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если a мень­ше 0, то x=3a по­сто­рон­ний. Зна­чит, x= минус a и x=1 не долж­ны быть по­сто­рон­ни­ми или сов­па­дать. То есть минус a мень­ше 2 (иначе не опре­де­лен ло­га­рифм), минус a не равно 1 (то есть a не равно минус 1) и 2a плюс 3a в квад­ра­те =a левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3a пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 (иначе не опре­де­лен ко­рень). По­лу­ча­ем в итоге a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Окон­ча­тель­ный ответ a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 263
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025