Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 527462

Найдите все a, при каждом из которых уравнение

\lg левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на корень из 2ax плюс 3a в квадрате =x умножить на \lg левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение в виде

\lg левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 2ax плюс 3a в квадрате минус x правая круглая скобка =0

и решим его. Первый множитель обнуляется только при x=1. Второй дает уравнение:

 корень из 2ax плюс 3a в квадрате =x равносильно 2ax плюс 3a в квадрате минус x в квадрате =0\undersetx больше или равно 0\mathop равносильно

\undersetx больше или равно 0\mathop равносильно левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3a правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус a,x=3a. конец совокупности .

Итого потенциально есть три корня, но некоторые из них могут быть посторонними. Разберем несколько случаев.

Если a=0, то получаем корни x=0 и x=1. Все в порядке.

Если a больше 0, то x= минус a посторонний. Значит, x=3a и x=1 не должны быть посторонними или совпадать. То есть 3a меньше 2 (иначе не определен логарифм), 3a не равно 1 (то есть a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ) и 2a плюс 3a в квадрате больше или равно 0 (иначе не определен корень). Получаем в итоге a принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Если a меньше 0, то x=3a посторонний. Значит, x= минус a и x=1 не должны быть посторонними или совпадать. То есть  минус a меньше 2 (иначе не определен логарифм),  минус a не равно 1 (то есть a не равно минус 1) и 2a плюс 3a в квадрате =a левая круглая скобка 2 плюс 3a правая круглая скобка больше или равно 0 (иначе не определен корень). Получаем в итоге a принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Окончательный ответ a принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 263.
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром