При каких a уравнение
имеет ровно 4 корня?
Решение 1.
Возведем уравнение в куб. Получим
Заменим выражение в скобках, используя исходное уравнение.
Отсюда видно, что одним из корней является 
(он действительно подходит в исходное уравнение). Поделим на x:
В дальнейшем у этого уравнения должно быть ровно три ненулевых корня.
Решение 2.
Заметим, что всегда будет корнем данного уравнения. Поделим уравнение на 
обозначим 
и потребуем, чтобы уравнение 
имело ровно три корня.
Исследуем для начала функцию 
Это четная функция. Ее производная при 
будет 
при 
Значит, функция убывает на 
а по непрерывности можно даже написать, что она убывает на 
Очевидно, при больших t имеем
поэтому 
при 
Итак, на положительной полуоси функция убывает и принимает все значения из промежутка 
ровно по одному разу.
На отрицательной происходит то же самое из-за четности функции.
Вернемся теперь к исходной задаче. Обозначая 
получаем как раз уравнение 
которое имеет единственный корень 
при 
имеет два корня (отличающихся знаком) при 
и не имеет корней при прочих b. Отсюда при
или 
корней у уравнения нет вовсе.
Пусть 
Тогда нужно чтобы 
то есть 
У этого уравнения единственный корень.
Пусть, наконец, и 
Нас интересует число корней уравнения 
Выясним для этого, как устроена функция 
Возьмем ее производную 
Значит, 
при 
и 
при 
Поэтому функция ведет себя так — принимает все вещественные значения по одному разу на промежутке 
принимает дважды все положительные значения большие 
на промежутке 
принимает один раз значение 
и не принимает других значений на этом промежутке.
Будем считать что 
Тогда уравнение 
имеет ровно один корень, значит, уравнение 
должно иметь ровно два корня. Один из них точно будет на промежутке значит, второй должен быть на промежутке причем быть там единственным корнем. Это возможно только если этот корень 
и 
В этом случае корней получается ровно три, а в других случаях не получается.
Итак,
и 
Ответ: 