ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505934 Добавить в вариант

При каких значениях a уравнение

$2 Пи в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 4a косинус левая круглая скобка 2 Пи x правая круглая скобка минус 9a в кубе =0$

имеет единственное решение?

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену $x\mapsto 2 минус x.$ Очевидно, если x было корнем уравнения, то и $2 минус x$ будет его корнем.

Поэтому единственный корень может быть только если $x=2 минус x,$ то есть $x=1.$

Тогда уравнение превращается в $4a минус 9a в кубе =0$ и выполняется при $a=0,$ $a=\pm дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Осталось выяснить, сколько корней будет при этих значениях a.

1)   $a=0.$ Тогда $2 Пи в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0$ имеет единственный корень.

2)   $a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Тогда $2 Пи в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка косинус 2 Пи x минус 1 правая круглая скобка =0.$ При $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ значение будет $дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби меньше 0,$ при $x=0$ значение будет $2 Пи в квадрате больше 0,$ поэтому на отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ есть еще корень.

3)   $a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Тогда $2 Пи в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 2 Пи x правая круглая скобка =0.$ Очевидно, оба слагаемых неотрицательны, причем оба равны нулю только при $x=1.$

Ответ: $a=0;$ $a= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 15

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь