Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527712
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a урав­не­ние

6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 1 конец дроби минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1=0

имеет ровно 4 ре­ше­ния?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 1 конец дроби =t, тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

6t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1=0. левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

Урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка   — квад­рат­ное, зна­чит, не может иметь более двух кор­ней.

Рас­смот­рим урав­не­ние

дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те плюс 1 конец дроби =t,

tx в квад­ра­те минус x плюс t=0. левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка

Если t=0, то урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка   — ли­ней­ное и имеет один ко­рень x=0.

Если t не равно 0, то урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка   — квад­рат­ное. Его дис­кри­ми­нант равен D= 1 минус 4t в квад­ра­те , он по­ло­жи­те­лен при минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше t мень­ше 0 или 0 мень­ше t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , равен нулю при t=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ри­ца­те­лен при t мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или t боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело ровно 4 ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка имело ровно два ре­ше­ния при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лам минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше t мень­ше 0 или 0 мень­ше t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Вы­яс­ним при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a, урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка имеет два корня на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Введём функ­цию f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =6t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1. Чтобы урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка имело два корня на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , до­ста­точ­но, чтобы вы­пол­ня­лась си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше t_0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,D боль­ше 0,f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 6 левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1 боль­ше 0,6 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1 боль­ше 0, минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 6a плюс 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка 6a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 24 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, минус 12a в квад­ра­те плюс 8a минус 1 не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 12a в квад­ра­те минус 11a минус 1 мень­ше 0,12a в квад­ра­те минус 5a мень­ше 0, минус 6 мень­ше 6a плюс 1 мень­ше 6, левая круг­лая скоб­ка 18a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка 6a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 12 мень­ше a мень­ше 1,0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 12, минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,18a не равно 5,6a не равно 1,2a не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18, дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 12. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно 4 ре­ше­ния при со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18, дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 12. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 18; дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: конец дроби 12 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 281
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025