а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная этому ребру. Из­вест­но, что она пе­ре­се­ка­ет осталь­ные бо­ко­вые рёбра и раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кий угол при вер­ши­не пи­ра­ми­ды равен 45°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 4.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

У вла­дель­ца фаб­ри­ки есть два стан­ка. Оба стан­ка ис­поль­зу­ют­ся для из­го­тов­ле­ния оди­на­ко­вых де­та­лей, но вто­рой ста­нок более со­вре­мен­ный. За m² часов пер­вый ста­нок из­го­тав­ли­ва­ет 6m де­та­лей, а вто­рой ста­нок  — 8m де­та­лей. За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из стан­ков) ра­бо­чим пла­тят 250 руб. в час.

На опла­ту труда ра­бо­чих вы­де­ле­но 25 000 руб. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство де­та­лей можно из­го­то­вить на эти день­ги с по­мо­щью двух стан­ков?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

Най­ди­те все дей­стви­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно пять раз­лич­ных дей­стви­тель­ных кор­ней, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

На ли­сточ­ке на­пи­са­но более 100, но мень­ше 115 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, мень­ших 13, равно −20, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, боль­ших 13, равно 35. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел, за­пи­сан­ных на ли­сточ­ке, равно 7.

а)  Сколь­ко чисел за­пи­са­но на ли­сточ­ке?

б)  Может ли чисел, боль­ших 13, быть боль­ше, чем чисел, мень­ших 13?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, ко­то­рые боль­ше 13, может быть среди этих чисел, если из­вест­но, что есть хотя бы одно число, рав­ное 13?