Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 527983
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 9x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 имеет един­ствен­ный ко­рень на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что если дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше x мень­ше или равно 2, то 4 мень­ше 3x мень­ше или равно 6, a 0 мень­ше 3x минус 4 мень­ше или равно 2. Сде­ла­ем за­ме­ну t=3x минус 4, тогда 3t=9x минус 12. Те­перь пе­ре­фор­му­ли­ру­ем за­да­чу: тре­бу­ет­ся найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние ло­га­рифм по ос­но­ва­нию t левая круг­лая скоб­ка a плюс 3t плюс 17 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 имеет един­ствен­ный ко­рень на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию t левая круг­лая скоб­ка a плюс 3t плюс 17 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a плюс 3t плюс 17= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби ,t боль­ше 0,t не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a= минус 3t минус 17 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка ,t боль­ше 0,t не равно 1 конец си­сте­мы .

За­ме­тим, что при t боль­ше 0 пра­вая часть урав­не­ния левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка мо­но­тон­но убы­ва­ет (как сумма мо­но­тон­но убы­ва­ю­щих функ­ций) и каж­дое своё зна­че­ние при­ни­ма­ет ровно один раз. Зна­чит, урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка и вся си­сте­ма не могут иметь более од­но­го ре­ше­ния.

При этом, если t \to 0, то a= минус 3t минус 17 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби \to плюс бес­ко­неч­ность ; если t =2 , то a= минус 3 умно­жить на 2 минус 17 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 22,5. Зна­чит, при t боль­ше 0 урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка имеет одно ре­ше­ние на от­рез­ке левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при a\geqslant минус 22,5.

Оста­лось ис­клю­чить зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром t =1. Если t =1, то a= минус 3 умно­жить на 1 минус 17 плюс 1= минус 19.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при минус 22,5 мень­ше или равно a мень­ше минус 19 или a боль­ше минус 19.

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 22,5; минус 19 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 19; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

По­лез­но срав­нить это за­да­ние с за­да­ни­ем 505039 из ЕГЭ−2013.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 283
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025