ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505940 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a уравнение $левая круглая скобка синус x минус логарифм по основанию 4 a правая круглая скобка левая круглая скобка синус x минус 2 плюс 2a правая круглая скобка =0$ имеет ровно два корня на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

Решим уравнение:

$совокупность выражений синус x= логарифм по основанию 4 a, синус x=2 минус 2a. конец совокупности$

Первое уравнение имеет два решения, если $минус 1 меньше логарифм по основанию 4 a\leqslant1,$ одно решение, если $логарифм по основанию 4 a= минус 1$ и не имеет решений во всех остальных случаях.

Второе уравнение имеет два решения, если $минус 1 меньше 2 минус 2a\leqslant1,$ одно решение, если $2 минус 2a= минус 1$ и не имеет решений во всех остальных случаях.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня, если

$совокупность выражений система выражений минус 1 меньше логарифм по основанию 4 a\leqslant1, совокупность выражений 2 минус 2a меньше минус 1,2 минус 2a больше 1 конец системы . конец совокупности . система выражений минус 1 меньше 2 минус 2a\leqslant1, совокупность выражений логарифм по основанию 4 a меньше минус 1, логарифм по основанию 4 a больше 1 конец системы . конец совокупности . конец совокупности .$

или если $логарифм по основанию 4 a=2 минус 2a.$ Решая совокупность и уравнение, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка 0,25; 0,5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1,5;4 правая квадратная скобка$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 505752: 505940 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 16

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь