Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 528148

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых график уравнения

 дробь: числитель: ax в квадрате плюс 2 минус xy минус 2 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x, знаменатель: 1 минус y минус 2x конец дроби =2

имеет ровно 3 общие точки со сторонами квадрата ABCD, где А(4; 3) и С(−2; 5).

Спрятать решение

Решение.

Найдём координаты вершин квадрата ABCD. Отрезок AC  — диагональ квадрата, точка с координатами (1; 4)  — её середина. Значит, координаты двух других вершин квадрата (0; 1) и (2; 7). Без ограничения общности обозначим первую из них B, а вторую D.

Преобразуем уравнение:

 дробь: числитель: ax в квадрате плюс 2 минус xy минус 2 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x, знаменатель: 1 минус y минус 2x конец дроби =2 равносильно система выражений ax в квадрате плюс 2 минус xy минус 2 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x=2 минус 2y минус 4x,y не равно минус 2x плюс 1 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений ax в квадрате минус 2ax минус xy плюс 2y=0,y не равно минус 2x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений ax левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус y левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =0,y не равно минус 2x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка ax минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =0,y не равно минус 2x плюс 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x=2,y=ax, конец системы . y не равно минус 2x плюс 1. конец совокупности .

Графиком совокупности  совокупность выражений x=2,y=ax конец совокупности . являются вертикальная прямая x=2 (см. рис., выделено красным) или пучок прямых, проходящих через начало координат (выделено зелёным).

Заметим, что сторона квадрата BC лежит на прямой y= минус 2x плюс 1, значит, график исходного уравнения не может иметь общих точек с отрезком BC. Независимо от параметра a прямая x=2 имеет со сторонами квадрата две общие точки: D (2; 7) и E (2; 2).

Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно, чтобы прямая y=ax имела ровно одну общую точку со сторонами квадрата AB, AD и CD, отличную от точек B, C, D и E. Это выполняется при

 совокупность выражений a меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,a=1,a= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби } правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; 1; дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 284.