ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506072 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =4a в квадрате левая круглая скобка 5x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка$

имеет ровно 3 различных корня?

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, если a удовлетворяет этому условию, то и $минус a$ ему тоже удовлетворяет. Будем в дальнейшем считать, что $a больше или равно 0.$

Перепишем уравнение

$левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 2a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка плюс a в степени 4 =4a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка плюс 16a в квадрате x в квадрате ,$

$левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2a в квадрате левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 правая круглая скобка плюс a в степени 4 =16a в квадрате x в квадрате ,$

$левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 минус a в квадрате правая круглая скобка в квадрате минус 16a в квадрате x в квадрате =0,$

$левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 минус a в квадрате минус 4ax правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x плюс 1 минус a в квадрате плюс 4ax правая круглая скобка =0.$

Возможны два случая:

1)  У двух скобок есть общий корень. Тогда $ax=0.$ При $a=0$ корней нет вообще, при $x=0$ имеем $a=\pm 1,$ и уравнение получается $левая круглая скобка x в квадрате минус 5x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x правая круглая скобка =0,$ у него действительно три корня.

2)  У одной из скобок два различных корня, а у другой только один.

Дискриминанты скобок равны $левая круглая скобка 4a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 1 минус a в квадрате правая круглая скобка =20a в квадрате плюс 8a минус 3$ и $левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 1 минус a в квадрате правая круглая скобка =20a в квадрате минус 8a минус 3.$ Один из них должен быть положителен, а другой нулем. Первый больше, значит, он положителен.

Итак, нам подходит положительный корень второго  — $дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента , знаменатель: 10 конец дроби .$

Ответ: $a=\pm 1,$ $a=\pm дробь: числитель: 2 плюс корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента , знаменатель: 10 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 38

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь