ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 527587 Добавить в вариант

Найти все значения параметра a, при каждом из которых ровно одна точка графика функции

$y=2x плюс левая круглая скобка десятичный логарифм a правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка 2a Пи x правая круглая скобка плюс 2 косинус левая круглая скобка a Пи x правая круглая скобка минус 3 конец аргумента плюс 1$

лежит в области $левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате \leqslant25.$

Спрятать решение

Решение.

Поскольку $косинус 2 Пи ax, косинус Пи ax меньше или равно 1,$ подкоренное выражение почти всегда отрицательно и корень не определен. Единственный шанс  — если $косинус Пи ax=1,$ то есть ax  — целое четное число, тогда и $косинус 2 Пи ax=1.$ В таком случае подкоренное выражение равно нулю и первое уравнение принимает вид $y=2x плюс 1.$ Подставляя это выражение в неравенство, получим:

$левая круглая скобка 2x минус 7 правая круглая скобка в квадрате плюс 4 левая круглая скобка 2x минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 25 равносильно 20x в квадрате минус 60x плюс 40 меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 20 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$

Итак, нужно чтобы на отрезке $левая квадратная скобка a;2a правая квадратная скобка$ нашлось ровно одно четное число ( $a больше 0,$ иначе не определен логарифм).

Если $a меньше 1,$ то $0 меньше a меньше 2a меньше 2$ и четных чисел там нет.

Если $a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка ,$ то $a меньше 2 меньше или равно 2a меньше 4$ и там есть единственное четное число  — двойка.

Если $a=2,$ то есть два четных числа  — 2 и 4.

Если $a принадлежит левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка ,$ то $2 меньше a меньше 4 меньше 2a$ и там есть единственное четное число  — четверка.

Если $a принадлежит левая квадратная скобка 3;4 правая круглая скобка ,$ то $a меньше 4 меньше 6 меньше или равно 2a$ и там есть минимум два четных числа.

Если же $a больше или равно 4,$ то длина отрезка $левая квадратная скобка a;2a правая квадратная скобка$ равна $a больше или равно 4,$ а на отрезке длины 4 всегда есть минимум два целых четных числа.

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;3 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 273

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь