ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521561 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $\lg левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка плюс \lg левая круглая скобка a в квадрате минус x в квадрате правая круглая скобка =\lg левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате$ имеет ровно один корень.

Спрятать решение

Решение.

Область определения уравнения задается неравенствами $x меньше 1$ и $|x| меньше |a|,$ при этих условиях имеем:

$левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка равносильно x левая круглая скобка x минус 2 плюс a правая круглая скобка =0,$ $левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка равносильно x левая круглая скобка x минус 2 плюс a правая круглая скобка =0,$

откуда $x=0$ или $x=2 минус a.$ Первое значение лежит в ООУ при всех $a не равно 0.$ При $a = 0$ уравнение не определено.

Значит, второе решение должно или совпадать с первым (это бывает при $a=2$ ), или подходить не должно. Для этого либо $2 минус a больше или равно 1,$ то есть $a меньше или равно 1,$ либо $|2 минус a| больше или равно |a|,$ откуда $4 минус 4a плюс a в квадрате больше или равно a в квадрате ,$ что вновь дает $a меньше или равно 1.$

Итак, $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 2 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 220

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь