ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505644 Добавить в вариант

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$x минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =4|4|x| минус a в квадрате |$

имеет ровно три корня.

Спрятать решение

Решение.

Если $a=0,$ то уравнение принимает вид $x=16|x|$ и имеет один корень.

В остальных случаях представим график обеих частей уравнения.

График левой части  — прямая, параллельная прямой $y=x.$

График функции $4|x| минус a в квадрате$   — два луча с общим началом в точке $левая круглая скобка 0; минус a в квадрате правая круглая скобка$ и угловыми коэффициентами $\pm 4.$

Поэтому график правой части  — два луча (с началами в точках $левая круглая скобка \pm дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка$ и угловыми коэффициентами $\pm 16$ ) и два отрезка, соединяющих те же точки с точкой $левая круглая скобка 0;4a в квадрате правая круглая скобка .$

Из графика правой части видно, что прямая, параллельная $y=x,$ имеет с ним ровно три общих точки тогда и только тогда, когда проходит либо через $левая круглая скобка 0;4a в квадрате правая круглая скобка ,$ либо через $левая круглая скобка минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$ Осталось выяснить, при каких a это происходит.

В первом случае $минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =4a в квадрате ,$ откуда $a=0$ (уже разбиралось) либо $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ (подходит)

Во втором случае $минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби =0,$ откуда $a=0$ (уже разбиралось) либо $a= минус 2$ (подходит).

Ответ: $a= минус 2$ или $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 505608: 505644 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 48

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь