PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505586 
Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. Данное уравнение эквивалентно системе:
Not match begin/end align
б) Осуществим отбор корней. Из серии 
Получаем, что из первой серии корней подходит 
Из серии 
Получаем, что из первой серии корней подходит 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505586
а) б)
б) 
являются числа 
и 
которые принадлежат интервалу 
единственное число 0 принадлежит интервалу 
значения x окажутся за границами интервала 
не найдется ни единого значения переменной на интервале 
так как даже при 
Аналогично 
Итак, общими решениями заданного уравнения являются числа: 
Значит, искомыми корнями являются числа: 0 и 
б) 
Для таких значений x будем иметь:
при 
при 
При 
при 
б) 
имеем:
относится к числу посторонних.
б) 
решений не имеет.
к посторонним не привело, так как мы не получили корней вида 
б) 
Ясно, что ими будут числа 
и 
б) 
б) 
т. е. при условии выполнения неравенства 
Для таких 
решений не имеет.
б) 
условия 
надобности нет, так как в процессе решения условие 
(правой части второго уравнения) уже обеспечит неотрицательность левой части этого же уравнения.
б) 
Искомыми значениями переменной окажутся числа вида: 
и 
принадлежат лишь два корня: 
и 
нет.
б) таких корней нет.
Для таких x будем иметь:
есть посторонние. 
б) 
то 
противоречат условию 
Действительно, однако, 
то
то мы вправе разделить обе части последнего уравнения на 
Получим: 
что противоречит условию 
Таким образом, решениями заданного уравнения являются числа вида 
и 
решений не имеет.
Для разрешенных значений x далее будем иметь: 
за исключением чисел вида 
где 
Чтобы найти наименьший искомый корень из этой серии решим неравенство 
в целых числах. Получим: 
Отсюда ясно, что искомый наименьший корень вычисляется по формуле 
при 
Далее, каждый следующий корень получим путем прибавления к нему числа 
Результаты будем заносить в таблицу. Посторонние корни по ходу будем отсеивать, учитывая условие 
за исключением чисел вида 
не имеет из-за ограниченности синуса. Рассмотрим второй множитель:
относительно целых 
получим 
при 
при 
при 
до 
пересечь график прямыми 
Точек пересечения этих прямых и графика функции 
окажется 5. 
можно получить искомые корни только при 
а из серии 
дальнейшие поиски корней не имеет смысла.
Если в конце решения мы получили бы результат 
или 
то серию корней 
исключили бы как посторонние.
б) 
и 
Обратим внимание на то, что среди них имеются совпадающие корни, например, при 
и 
обращаются в нуль, при 
выполняется равенство 
при 
и т. д. В принципе мы могли бы полученные серии корней оставить такими, какие они есть.
Это — бесспорно! Однако наш ответ к задаче будет выглядеть более привлекательным, если мы все же пойдем несколько иным путем: постараемся выразить множество решений уравнения через непересекающиеся множества. С этой целью отметим кружочком на единичной окружности все точки, соответствующие серии корней 
а крестиком — точки, соответствующие серии корней 
и 
Ясно, что таким значением будет −6. Аналогично найдем минимальные значения n, для которых верны неравенства: 
0.
справедлива формула 
б) 
Отсюда: 
т. е. 
Нетрудно также понять, что для серии корней вида 
б) 
б) 
которое можно переписать так: 
Согласно теореме Виета, получим: 
но при 
так как 
при 
так как 
но при 
так как 
при 
Следовательно, искомыми корнями являются лишь числа: 
и 
б) 
Ясно, что областью определения функции 
будут значения x, при которых определён 
Он определен при всех значениях 
т. е. при 
Таким образом, ограничения на искомые значения 
Действительно, при 
имеем:
выражением 
указывает на способ получения значений функций f, зная значения 
относительно 
б) 
получим
б) 
к системе 
мы учли ограничения на значения переменной 
У недостаточно опытного ученика может возникнуть вопрос: а почему при этом мы не учитываем еще одного условия: 
Ответим на этот вопрос так: в этом нет никакой надобности. Во-первых, условие 
Включение в систему обоих условий: 
привело бы к неоправданному усложнению самого процесса решения.
в уравнение 
произведено с целью дальнейшего его преобразования в квадратное уравнение относительно 
выражение 
мы заменим 
б) 
при любом значении 
Однако правая часть уравнения обязана быть неотрицательной, т. е. 
или 
Но 
не удовлетворяет условию 
Множеству 
принадлежат два корня заданного уравнения, а именно: 
и 
Нетрудно заметить, что 
Значит, 
Действительно, 
(неравенство верно).
— также искомое значение 
Для таких x будем иметь: 
Но заданное уравнение обращается в верное равенство только при выполнении условия 
б) Таких корней нет.
к уравнению 
проверка того, что при 
(не подходит), 
то искомые значения 
могут находиться только в четвертой четверти. Значит, 
Решением этого неравенства заниматься мы не будем, проверку корней получаемого уравнения-следствия сделаем в конце решения, подставляя полученные значения в знаменатель левой части уравнения.
Итак, числа вида 
то 
Тогда 
то
получается из отрезка 
сдвигом его вправо на 
Следовательно, искомым корнем будет 
или 
Для таких x с учетом формулы косинуса тройного аргумента (
) будем иметь:
(уравнение решений не имеет из-за ограниченности синуса). 
б) 
Для этих значений x будем иметь: 
знаменатель левой части уравнения обратится в нуль. Следовательно, 
также следует, что 
однако мы это неравенство не включаем в ограничения на x, поскольку число 
не входит в область значений функции косинус.
б) 
а уравнение 
решений не имеет. Кроме того, получили, что 
т. е. 
А это значит, что серия корней 
получаемых из уравнения 
корней не имеет.
Для таких x имеем:
не является решением заданного уравнения, так как при этих значениях x, как сказано выше, знаменатель левой части уравнения обращается в нуль.
очевидно, что 
При 
Докажем, что 
т. е. 
Действительно, 
так как 
Докажем, что 
(неравенство верно). 
Убедимся, что 
Очевидно, что 
значит, 
невыполнимо. Следовательно, левая часть исходного уравнения обращается в нуль только при тех значениях x, при которых выполняется условие 
В общем случае уравнению 
удовлетворяют все числа типа 
Но с учетом ограничений на x получим, что 
Но уже при 
корни уравнения выходят за пределы рассматриваемого отрезка. Дальнейшие поиски просто излишни.
б) 
Теперь решим его:
также являются корнями исходного уравнения.
при 
поскольку 
то 
Искомый корень из данной серии будет единственным: 
верна только для 
Аналогично формула 
верна только для 
б) 
решений не имеет:
или 
не могут быть решениями исходного уравнения. Следовательно, решениями уравнения являются только числа вида 
лишь один раз встретится число вида 
при 
Следовательно, искомым корнем является 
решений не имеет, так как 
в квадрат приобретение посторонних решений в нашем случае невозможно, поскольку:
что обеспечивает неотрицательность правой части уравнения 
в силу неотрицательности правой части равенства, т. е. выражения 
б) 
т. е. 
Тогда
б) 
для любого 
так как 
Из условия, что 
Также следует, что 
Значит, 
получим, что уравнению удовлетворяют корни: 
б) 
корней не имеет.
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
действительных корней не имеет.
б) 
на 
к появлению посторонних решений не приводит.
не существует, следовательно, равенство 
невозможно.
выполняется во второй и третьей координатных четвертях. Но во второй четверти котангенс отрицателен, что также невозможно. Единственно допустимо: 
относительно целых 
б) 
или 
и 
б) 
б) 
б) 
в целых числах. Получим: 
при 
б) 
б) 
б) 
При таком значении 
теряет смысл. А при 
выражение 
и исходное уравнение смысла не имеет.
при котором уравнение смысла не имеет, как это было показано выше. 
относительно целого n при условии, что 
при 
при 
(неравенство очевидное). 
б) 
так при 
что невозможно.
имеем:
не подойдет, поскольку 
Следующий положительный корень равен 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
На самом деле, 
Но и 
Значит, 
будет равен 
который превосходит 14, 5. Докажем это. 
б) 
Докажем, что 
несложно понять, искомых корней не будет.
Но 
б) 
т. е. 
б) 
откуда 
причем 
б) 
б) 
не удовлетворяют исходному уравнению, в котором должно выполняться условие: 
то 
что не выполнимо ни при каких значениях 
и 
есть число 
(как наименьшее общее кратное положительных периодов слагаемых функций: для функции 
— это 
для функции 
— число 
). Следовательно, в дополнительной проверке нуждаются решения, соответствующие четным и нечетным значениям 
то 
Ясно, что 
то 
Следовательно, при нечетных n числа вида 
лишь при четных значениях 
могут быть решениями исходного уравнения;
также равен 
а серия корней 
то при значениях 
также будет обеспечено выполнение условия 
Однако при этом все решения уравнения-следствия окажутся подходящими и для исходного уравнения. Докажем это. 
Т. е. 
лежит единственный корень 
в записи «
является следствием уравнения 
у которого множество решений, быть может, шире, нежели у уравнения — посылки; расширение множества решений в нашем случае могло произойти только за счет расширения множества значений переменной, на котором оно (уравнение) может рассматриваться. Потому потребовалась проверка пригодности найденных решений и отсеивание посторонних.
б) 
При x = 1 или x = -3 выражение 
обращается в нуль. 
т. е. условие 
Заметим, что 
(третья четверть). Неравенство выполняется. Число 1 является корнем исходного уравнения.
т. е. условие 
Однако, это условие невыполнимо. Докажем. 
В то же время 
рассматриваемому отрезку принадлежит. 
То есть число 
отрезку 
не принадлежит.
Покажем, что 
Действительно, 
Но 
(неравенство очевидное). 
Отсюда ясно, что искомые решения неравенства принадлежат второй четверти. 
исходному уравнению удовлетворяют числа вида 
и его конец, точка 
принадлежат второй четверти.
либо промежутку 
Б) Таких корней нет.
б) 
Б) 
б) 
воспользуемся геометрическим смыслом модуля. Левая ее часть на числовой прямой представляет собой сумму расстояний от точки 
до точек (1) и (8) не больше 7. Следовательно, верно неравенство 
Ясно, что 
Докажем, что 
Очевидно, что 
Докажем, что 
Действительно, 
Получили очевидное неравенство. 
будет выполнено неравенство 
Действительно, уже при 
б) 
то все искомые корни получим из двух серий корней, указанных выше, при 
Б) 
решений не имеет из-за ограниченности функций синус и косинус; cos x и sin x при одном и том же значении x не могут принять значение, равное −1. 
найдется единственная точка, при которой выполняется условие 
Такой точкой будет 
Б) 
охватывает первых три координатных четверти, причем первую и третью четверти частично. 
к числу искомых не относится. Дальнейшие поиски корней смысла не имеют.
Б) 
Тогда и левая, и правая части уравнения обратятся в нуль. Следовательно, числа вида 
то левая часть уравнения обратится в нуль. Однако при 
либо 
(набор 
не удовлетворяет условию 
).
б) 
искомых корней не будет более 2. 
и 
(корни уравнения, получаемые при 
(неравенство очевидное); 
(неравенство также очевидное).
Б) 
(рисунок 1).
б) 
и 
Наименьший положительный период функция 
равен 
следовательно, эта функция на отрезке 
значение, равное 1, будет принимать ровно 7 раз. Наименьший положительный период функции 
равен 
что свидетельствует о том, что эта функция свое значение, равное 1, на 
Следовательно, обоим уравнениям будут удовлетворять лишь решения уравнения 
так как 
а 
б) 
при 
б) 
— неравенства очевидные.
б) 
(заметим, что 
).
б) 
б) 
Тогда: 
б) 
Оценим t.
то 
Тогда исходное уравнение будет иметь вид: 
б) 
б) 
решений не имеет, поскольку при 
б) 
принадлежит только один корень 
б) 
Первый множитель обнуляться не может.
б) 
(невозможно) или 
несовместна, поскольку при 
Действительно, 
(неравенство очевидное). 
б) 
решений не имеет.
выполняется. 
и 
б) 
или 
или 
б) 
либо 
то есть 
отберём с помощью тригонометрической окружности. 
б) 
или 
(невозможно, 
) или 
б) 
эти числа подходят.
Его корнями являются 
и 
первый из которых не удовлетворяет условию 
Второй подходит.
то уравнение равносильно 
У него нет корней.
б) 
б) 
(невозможно) или 
б) 
(иначе котангенс вообще не определен).
(невозможно), 
(невозможно).
б) 
перепишем уравнение
или 
(невозможно) или 
или 
б) 
или 
б) 
Не забудем потом учесть, что 
или 
поэтому только 
подходит.
б) 
и 
и 
зелеными кружками и синими квадратиками соответственно (см. рис.). Красными крестиками отметим решения уравнений 
и 
то есть точки 
и 
Из рисунка заключаем, что вне ОДЗ лежат только точки на концах вертикального диаметра окружности. Кружочки, обведенные квадратиками, соответствуют корнями, принадлежащим обеим сериям решений. Чтобы записать ответ без повторяющихся корней, к решениями 
добавим лишь 
попадает не больше одного члена серии. Этим членом является –π. Для второй серии запишем двойное неравенство:
и 
Найденным значениям параметра соответствуют следующие члены серии: 
б) 
то условие 
содержат решения уравнения 
где 
Поэтому достаточно для каждой из найденных серий проверить лишь условие 
Покажем, что все члены серии 
удовлетворяют условию 
Действительно, имеем: 
при этом 
Ясно, что равенство 
невозможно ни при каких целых значениях параметров, поскольку в левой части дробное число, а в правой — целое.
Найдем «запрещенные» значения n:
обращают знаменатели в нуль, а потому корни 
остаются лишь члены вида 
и 
не равны нулю одновременно, а потому корни уравнения 
не содержатся среди корней уравнения 
и не являются посторонними. Остается проверить серию 
Это можно сделать подстановкой: числа 
равны нулю только для четных n, не делящихся на 4. Тогда ответ к уравнению можно записать в следующем виде: 
имеем:
б) 
при этом 
следовательно, 
Кроме того, 
При указанных ограничениях исходное уравнение эквивалентно следующим:
б) 
Найдем корни числителя, используя тождество 
означает, что тангенс существует и отличен от нуля:
условие (⁎) выполнено, поскольку соответствующие ей точки лежат в четвертой четверти. Для серии 
получаем: 
откуда 
Таким образом, четные и только четные члены этой серии являются посторонними корнями уравнения. Для нечетных значений k получаем: 
и 
и 
