Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505918
i

Дано урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 1;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем огра­ни­че­ния на x. За­ме­тим, что 1 минус ко­си­нус x боль­ше или равно 0 при любом зна­че­нии x при­над­ле­жит R . Од­на­ко пра­вая часть урав­не­ния обя­за­на быть не­от­ри­ца­тель­ной, т. е.  ко­си­нус x боль­ше или равно 0. Это имеет место при вы­пол­не­нии усло­вия

 минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n|n при­над­ле­жит Z .

При таких зна­че­ни­ях x будем иметь:

1 минус ко­си­нус x=2 ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x минус 1=0 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0.

По тео­ре­ме Виета най­дем зна­че­ния  ко­си­нус x: ко­си­нус x= минус 1 или  ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Но  ко­си­нус x= минус 1 не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию  ко­си­нус x боль­ше или равно 0. Итак, ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)   За­ме­тим, что  левая квад­рат­ная скоб­ка 1;6 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \subset левая круг­лая скоб­ка 0;2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка . Мно­же­ству  левая круг­лая скоб­ка 0;2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка при­над­ле­жат два корня за­дан­но­го урав­не­ния, а имен­но:  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Не­труд­но за­ме­тить, что  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше 1. Зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби   — ис­ко­мое зна­че­ние x. До­ка­жем, что 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 6. Дей­стви­тель­но,

1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно 6 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби рав­но­силь­но 0,6 мень­ше или равно Пи мень­ше или равно 3,6 (не­ра­вен­ство верно).

От­сю­да:  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби   — также ис­ко­мое зна­че­ние x.

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б)  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 505918: 508184 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 13
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус