Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 512423
i

Дано урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус 132 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка 132 Пи плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

Б)  Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 4 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Огра­ни­че­ния на x.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка тан­генс 2x не равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка ко­си­нус 2x не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 2x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка 2x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k,k при­над­ле­жит Z . конец си­сте­мы .

 

дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус 132 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка 132 Пи плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 синус x ко­си­нус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка 132 Пи плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка 132 Пи плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка 132 Пи плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 синус x минус 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус тан­генс левая круг­лая скоб­ка 132 Пи плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0 \Rightarrow синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Мы по­лу­чи­ли урав­не­ние–след­ствие ис­ход­но­го урав­не­ния. С уче­том огра­ни­че­ний на x от­бе­рем корни урав­не­ния синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­то­рые будут удо­вле­тво­рять ис­ход­но­му урав­не­нию.

 

 

Та­ко­вы­ми будут числа вида дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z (ри­су­нок 1).

б)  Най­дем самый мень­ший ис­ко­мый ко­рень с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти (ри­су­нок 2). Далее:

x_1= минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 57 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 55 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Осталь­ные корни най­дем так:

x_2= минус дробь: чис­ли­тель: 55 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 43 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;x_3= минус дробь: чис­ли­тель: 43 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;

x= минус дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше минус 4 Пи .

Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней не имеют смыс­ла.

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 55 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 43 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025