Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508166
i

Дано урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 17 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 умно­жить на \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 16;16 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Рас­смот­рим урав­не­ние

2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 17 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 17 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 289 минус 64 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 17 плюс 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби  конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =8  конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка x= минус 1 , новая стро­ка x=3 . конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что при x= минус 1 синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше 0. При таком зна­че­нии х вы­ра­же­ние \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка те­ря­ет смысл. А при x=3 вы­ра­же­ние \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка имеет зна­че­ние рав­ное \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _2 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

За­ме­тим также, что при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;3 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 17 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8 мень­ше 0, и ис­ход­ное урав­не­ние смыс­ла не имеет.

Те­перь рас­смот­рим урав­не­ние \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

\log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _21 рав­но­силь­но синус дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: Пи x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x=2 плюс 8n,n при­над­ле­жит Z.

 

Од­на­ко при n=0 по­лу­чим: x=2, при ко­то­ром урав­не­ние смыс­ла не имеет, как это было по­ка­за­но выше.

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ния за­дан­но­го урав­не­ния:  левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 2 плюс 8n,n при­над­ле­жит Z,n не равно 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

б)  За­ме­тим, что ко­рень урав­не­ния, рав­ный 3, при­над­ле­жит за­дан­но­му от­рез­ку. Для на­хож­де­ния дру­гих ис­ко­мых кор­ней решим двой­ное не­ра­вен­ство  минус 16 мень­ше или равно 2 плюс 8n мень­ше или равно 16 от­но­си­тель­но це­ло­го n при усло­вии, что n не равно 0.

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 16 мень­ше или равно 2 плюс 8n мень­ше или равно 16 , новая стро­ка n не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 18 мень­ше или равно 8n мень­ше или равно 14 , новая стро­ка n не равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно n мень­ше или равно 1 , новая стро­ка n не равно 0 . конец си­сте­мы .

При n= минус 2:x_2=2 минус 16= минус 14; при n= минус 1:x_3=2 минус 8= минус 6; при n=1:x_4=2 плюс 8=10.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 2 плюс 8n,n при­над­ле­жит Z,n не равно 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . б)  минус 14; минус 6;3;10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа