Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508130
i

Дано урав­не­ние 6 тан­генс в квад­ра­те Пи x минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: ко­си­нус Пи x конец дроби плюс 8=0.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу (−5; 1).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

6 тан­генс в квад­ра­те } Пи x минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: ко­си­нус Пи x конец дроби плюс 8=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те Пи x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: ко­си­нус Пи x конец дроби плюс 2=0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те Пи x минус 13 ко­си­нус Пи x плюс 6=0

рав­но­силь­но ко­си­нус Пи x= дробь: чис­ли­тель: 13\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 169 минус 48 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус Пи x= дробь: чис­ли­тель: 13\pm 11, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус Пи x=6 , новая стро­ка ко­си­нус Пи x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти .

рав­но­силь­но ко­си­нус Пи x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но Пи x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2n,n при­над­ле­жит Z.

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

Най­дем целые n, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­ви­ям минус 5 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2n мень­ше 1 или минус 5 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2n мень­ше 1.

минус 5 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 2n мень­ше 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 2n мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше n мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Оче­вид­но, та­ко­вы­ми будут числа: минус 2; минус 1 и 0.

минус 5 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 2n мень­ше 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби   рав­но­силь­но   минус дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 2n мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби   рав­но­силь­но   минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше n мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния n: минус 2; минус 1 и 0.

Далее:

 

n−2−10
дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2n дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 4= минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби
минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2n минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 4= минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2= минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2n;n при­над­ле­жит Z. б) минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025