Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 505838

Дано уравнение  дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус в степени ( минус 2) x конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: синус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни на промежутке  левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Ясно, что  косинус x не равно 0, так как степенная функция с целым отрицательным показателем определена только для чисел, отличных от нуля:

 дробь: числитель: синус x, знаменатель: косинус в степени ( минус 2) x конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: синус x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно синус x умножить на косинус в квадрате x плюс 1 минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби косинус в квадрате x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби синус x=0 равносильно

 

 равносильно 8 синус x умножить на косинус в квадрате x плюс 8 минус 5 минус 12 косинус в квадрате x минус 2 синус x=0 равносильно (8 синус x умножить на косинус в квадрате x минус 12 косинус в квадрате x) минус (2 синус x минус 3)=0 равносильно

4 косинус в квадрате x(2 синус x минус 3) минус (2 синус x минус 3)=0 равносильно (2 синус x минус 3) умножить на (4 косинус в квадрате x минус 1)=0.

Уравнение 2 синус x минус 3=0 не имеет из-за ограниченности синуса. Рассмотрим второй множитель:

 косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z . x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .

Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z .

б) Отбор корней можно сделать несколькими способами:

1. Путем решения двойных неравенств.

Решим неравенство 2 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n меньше или равно дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби относительно целых n:

6 меньше или равно минус 1 плюс 3n меньше или равно 13 равносильно 7 меньше или равно 3n меньше или равно 14 равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 4 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби 2 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 4 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3 меньше или равно n меньше или равно 4.

При n=3 получим x_1= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 Пи = дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; при n=4x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Теперь решим неравенство 2 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n меньше или равно дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

6 меньше или равно 1 плюс 3n меньше или равно 13 равносильно 5 меньше или равно 3n меньше или равно 12 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 4 равносильно 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно n меньше или равно 4; n=2; n=3; n=4.

При n=2 x_3= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; при n=3 x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 Пи = дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; при n=4 x_5= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи = дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Таким образом, корнями уравнения, принадлежащими заданному отрезку, являются числа:  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 

2. С помощью графика функции y= косинус x.

Для этого достаточно построить график для значений x от 2 Пи до 5 Пи , пересечь график прямыми y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Точек пересечения этих прямых и графика функции y= косинус x окажется 5.

 

 

Абсциссы точек пересечения легко обнаружить:

2 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , 3 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , 3 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , 4 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , 4 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

 

3. Перебором различных целых значений n.

Легко заметить, что из серии корней x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z можно получить искомые корни только при n больше или равно 2, а из серии x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z  — только при n больше или равно 3.

 

 

При значениях n больше или равно 5 дальнейшие поиски корней не имеет смысла.

 

4. С помощью единичной окружности

 

 

Однако, как показывает опыт, последний способ отбора корней, принадлежащих заданному промежутку, с помощью единичной окружности в большинстве случаев является самым удобным способом, быстро приводящим к цели.

Замечание: В самом начале решения задачи мы отметили, что  косинус x не равно 0. Если в конце решения мы получили бы результат  косинус x=0 или  синус x=\pm 1, то серию корней x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z исключили бы как посторонние.

 

Ответ: а) \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z ; б)  дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: 8 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 10 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 1.