Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 506056
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x минус синус x минус 1 конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть ко­си­нус x минус синус x=t, t минус 1 боль­ше или равно 0, т. е. t боль­ше или равно 1. Тогда

ко­си­нус в квад­ра­те x минус 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x плюс синус в квад­ра­те x=t в квад­ра­те рав­но­силь­но 1 минус синус 2x=t в квад­ра­те рав­но­силь­но синус 2x=1 минус t в квад­ра­те .

 

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус t конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t минус 1 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка t минус 1 боль­ше или равно 0 новая стро­ка 1 минус t в квад­ра­те =t минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка t боль­ше или равно 1 новая стро­ка t в квад­ра­те плюс t минус 2=0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка t боль­ше или равно 1 новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1 t= минус 2 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но t=1.

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной x:

ко­си­нус x минус синус x=1 рав­но­силь­но 1 минус ко­си­нус x плюс синус x=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но 2 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 новая стро­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка tg дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

б)  

 

x_1= минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; x_2= минус 2 Пи ; x_3= минус 2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; x_4=0.

 

Ответ: а) 2 Пи n, минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 36
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: За­ме­на  — сумма или раз­ность, Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы по­ло­вин­но­го ар­гу­мен­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025