Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505796
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 2x минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 2 ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та .

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 2x минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 2 ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x минус 2 ко­си­нус в квад­ра­те x=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 умно­жить на 2 ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те x рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 умно­жить на 2 ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те x рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x=2 умно­жить на \left| ко­си­нус x |.

Если ко­си­нус x боль­ше или равно 0, то

ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x=0, новая стро­ка ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x= минус 2. конец со­во­куп­но­сти .

ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

До­ка­жем, что корни урав­не­ния ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x= минус 2 про­ти­во­ре­чат усло­вию ко­си­нус x боль­ше или равно 0. Дей­стви­тель­но, од­на­ко,

ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x= минус 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x= минус 1 рав­но­силь­но ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­си­нус x минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на синус x= минус 1 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 рав­но­силь­но x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = Пи плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

Од­на­ко, при таких зна­че­ни­ях x ко­си­нус x мень­ше 0.

Если же ко­си­нус x мень­ше 0, то

ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x минус 2 ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

По­сколь­ку ко­си­нус x не равно 0, то мы впра­ве раз­де­лить обе части по­след­не­го урав­не­ния на ко­си­нус x. По­лу­чим:

ко­си­нус x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x=2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x=1 рав­но­силь­но ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на ко­си­нус x минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на синус x=1 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

Но при таких зна­че­ни­ях x ко­си­нус x боль­ше 0, что про­ти­во­ре­чит усло­вию ко­си­нус x мень­ше 0. Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . За­дан­но­му про­ме­жут­ку при­над­ле­жат лишь два корня: минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 74
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Мо­дуль числа, мо­дуль вы­ра­же­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние вспо­мо­га­тель­но­го угла, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025