Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 511159

Дано уравнение  логарифм по основанию левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка 2 умножить на логарифм по основанию 2 синус x=2.

 

А) Решите уравнение.

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

А) Найдем ограничения на x.  система выражений синус x больше 0, косинус x меньше 0, косинус x не равно 0. конец системы . Отсюда ясно, что искомые решения неравенства принадлежат второй четверти.

 

Для таких x:

 логарифм по основанию левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка 2 умножить на логарифм по основанию 2 синус x=2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 синус x, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка конец дроби =2 равносильно

 

 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка синус x=2 равносильно левая круглая скобка минус косинус x правая круглая скобка в квадрате = синус x равносильно 1 минус синус в квадрате x минус синус x=0 равносильно

 

 равносильно синус в квадрате x плюс синус x минус 1=0 равносильно синус x= дробь: числитель: минус 1 \pm корень из 1 плюс 4, знаменатель: 2 конец дроби .

С учетом полученных ограничений на x:  синус x= дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби , исходному уравнению удовлетворяют числа вида  Пи минус арксинус дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z .

 

Б) Ни один корень уравнения не принадлежит отрезку  левая квадратная скобка дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . Докажем это.

На единичной окружности выделен отрезок  левая квадратная скобка дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка .

Заметим, что и начало отрезка, точка  дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , и его конец, точка  дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , принадлежат второй четверти.

 синус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = синус левая круглая скобка 3 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

 синус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = синус левая круглая скобка 5 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = синус левая круглая скобка Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби .

 

 синус левая круглая скобка левая круглая скобка Пи минус арксинус дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи n,n принадлежит Z правая круглая скобка = синус левая круглая скобка арксинус дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Предположим, что при некотором целочисленном значении n во второй четверти найдется число, синус которого принадлежит либо промежутку  левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка , либо промежутку  левая квадратная скобка дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка .

Однако такого числа нет, так как  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби .

Докажем это:

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби  равносильно 1 меньше корень из 5 минус 1 меньше корень из 2 равносильно 2 меньше корень из 5 меньше корень из 2 плюс 1 равносильно 4 меньше 5 меньше 2 плюс 1 плюс 2 корень из 2.

 

Ответ: А)  Пи минус арксинус дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; Б) Таких корней нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111.