Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д8 C1 № 505844

Дано уравнение  корень из (2 синус 4x умножить на левая круглая скобка 2 косинус 3x умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 4) =2.

а) Решите уравнение.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) 

 корень из (2 синус 4x умножить на левая круглая скобка 2 косинус 3x умножить на косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 3x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс 4) =2 равносильно

 

 равносильно корень из (2 синус 4x умножить на 2 косинус 3x умножить на синус 3x плюс 4) =2 равносильно корень из (2 синус 4x умножить на синус 6x плюс 4) =2 равносильно 2 синус 4x умножить на синус 6x плюс 4=4 равносильно

 

 равносильно 2 синус 4x умножить на синус 6x=0 равносильно совокупность выражений  новая строка синус 4x=0  новая строка синус 6x=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка 4x= Пи n,  новая строка 6x= Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,  новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби n,n принадлежит Z  конец совокупности .

Мы получили две серии корней:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z и  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби n,n принадлежит Z . Обратим внимание на то, что среди них имеются совпадающие корни, например, при n = 0  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n и  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби n обращаются в нуль, при  n = 4 выполняется равенство  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n= Пи ; при n = 6  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби n= Пи и т. д. В принципе мы могли бы полученные серии корней оставить такими, какие они есть.

А что значит, решить уравнение? Решить уравнение — значит, найти множество его корней. (Правда, это множество может оказаться и пустым!)

При этом будем иметь в виду, что \a;b;c;d\=\a;b;c\\cup \b;c;d\. Это — бесспорно! Однако наш ответ к задаче будет выглядеть более привлекательным, если мы все же пойдем несколько иным путем: постараемся выразить множество решений уравнения через непересекающиеся множества. С этой целью отметим кружочком на единичной окружности все точки, соответствующие серии корней  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z , а крестиком  — точки, соответствующие серии корней  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби n,n принадлежит Z .

Тогда нам легко удастся выделить три серии корней, которые общих элементов не имеют. Такими будут числа вида:  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z ,  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z и  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z .

б) Отбор искомых корней с помощью единичной окружности в данном случае будет несколько неудобным из-за большого количества корней, принадлежащих заданному отрезку. (Их всего окажется 16). Поэтому отдадим предпочтение другому способу — перебору различных целых значений n для каждой серии решений.

Найдем значение n, при котором  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби . Ясно, что таким значением будет −6. Аналогично найдем минимальные значения n, для которых верны неравенства:

 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n больше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n больше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

Таким значением для обоих последних серий будет число −3.

 

Полученные результаты занесем в таблицу.

 

 

Ответ: а)  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби n,n принадлежит Z ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z ;  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби n,n принадлежит Z . б)  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;  минус Пи ;  минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;  минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;  минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 2.
Методы алгебры: Формулы двойного угла