Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505936
i

Дано урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус ко­си­нус 2x минус синус 2x конец ар­гу­мен­та = минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Огра­ни­че­ние на x: синус x мень­ше или равно 0. Для таких x будем иметь:

3 минус ко­си­нус 2x минус синус 2x=8 синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 2 плюс 1 минус ко­си­нус 2x минус синус 2x минус 8 синус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 плюс 2 синус в квад­ра­те x минус 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x минус 8 синус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но 6 синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x минус 2=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 3 синус в квад­ра­те x плюс синус x умно­жить на ко­си­нус x минус синус в квад­ра­те x минус ко­си­нус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x плюс синус x умно­жить на ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 тан­генс в квад­ра­те x плюс тан­генс x минус 1=0 рав­но­силь­но тан­генс x= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 8 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но тан­генс x= дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка тан­генс x= минус 1 новая стро­ка тан­генс x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти ..

Далее:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x мень­ше или равно 0, тан­генс x= минус 1, конец си­сте­мы . новая стро­ка си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x мень­ше или равно 0, тан­генс x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n|n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= Пи плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

 

б)  Ис­ко­мых кор­ней не будет. На рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке синус x боль­ше или равно 0. Но за­дан­ное урав­не­ние об­ра­ща­ет­ся в вер­ное ра­вен­ство толь­ко при вы­пол­не­нии усло­вия синус x мень­ше или равно 0. Сле­до­ва­тель­но, един­ствен­ное под­хо­дя­щее зна­че­ние для си­ну­са равно нулю. Од­на­ко, при синус x=0 тан­генс x не равно минус 1, тан­генс x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z ; арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка 2n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка Пи ,n при­над­ле­жит Z . б) Таких кор­ней нет.

 

За­ме­ча­ние.

При пе­ре­хо­де от урав­не­ния a синус в квад­ра­те x плюс b синус x умно­жить на ко­си­нус x плюс c умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те x=0 к урав­не­нию a умно­жить на тан­генс в квад­ра­те x плюс b умно­жить на тан­генс x плюс c=0 про­вер­ка того, что при a не равно 0, b не равно 0, c не равно 0, ко­си­нус x не равно 0, яв­ля­ет­ся лиш­ней ра­бо­той. На самом деле при a не равно 0, b не равно 0, c не равно 0, по­те­ря кор­ней урав­не­ния про­изой­ти не может. До­ка­за­тель­ство этого факта опуб­ли­ко­ва­но в жур­на­ле на­уч­но-ме­то­ди­че­ском жур­на­ле «Ма­те­ма­ти­ка в школе» (см.: Ги­лем­ха­нов Р. Г. «Осво­бо­дим­ся от лиш­ней ра­бо­ты» // Ма­те­ма­ти­ка в школе. – 2000. – № 10. – С.9).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Од­но­род­ные три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на тан­генс или ко­тан­генс
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025