Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 505664
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 синус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс тан­генс x минус 1=0.

б)  Най­ди­те все корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Огра­ни­че­ния на х: ко­си­нус x не равно 0 рав­но­силь­но x не равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . Для таких х имеем:

2 синус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс tgx минус 1=0 рав­но­силь­но 2 синус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби минус 1=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x минус 1 плюс синус x минус ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но 2 синус x умно­жить на ко­си­нус x минус синус в квад­ра­те x минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус x минус ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Решим урав­не­ния:

синус x минус ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но синус x= ко­си­нус x рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z .

 

1 минус синус x плюс ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 новая стро­ка синус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= Пи плюс 2 Пи n, новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

Серия кор­ней дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z от­но­сит­ся к числу по­сто­рон­них.

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

Из серии Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z :

минус Пи мень­ше или равно Пи плюс 2 Пи n мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно 1 плюс 2n мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но минус 2 мень­ше или равно 2n мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно n мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка n= минус 1, новая стро­ка n=0. конец со­во­куп­но­сти .

Из серии дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z :

минус Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но минус 4 мень­ше или равно 1 плюс 4n мень­ше или равно 4 рав­но­силь­но минус 5 мень­ше или равно 4n мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка n= минус 1, новая стро­ка n=0. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z ; Пи плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z . б) минус Пи ; минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 52
Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Груп­пи­ров­ка, Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы по­ни­же­ния сте­пе­ни
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025