Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508593
i

Дано урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 6x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: синус 6x, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби =2 ко­си­нус 4x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 2;4 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем огра­ни­че­ния на x: синус 2x умно­жить на ко­си­нус 2x не равно 0 рав­но­силь­но 2 синус 2x умно­жить на ко­си­нус 2x не равно 0 рав­но­силь­но синус 4x не равно 0.

Для таких x:

дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 6x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: синус 6x, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби =2 ко­си­нус 4x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но синус 2x умно­жить на ко­си­нус 6x плюс ко­си­нус 2x умно­жить на синус 6x минус 2 синус 2x умно­жить на ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус 4x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 2x умно­жить на ко­си­нус 2x=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но синус 8x минус синус 4x умно­жить на ко­си­нус 4x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x=0 рав­но­силь­но 2 синус x умно­жить на ко­си­нус 4x минус синус 4x умно­жить на ко­си­нус 4x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но синус 4x умно­жить на ко­си­нус 4x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус 4x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но ко­си­нус 4x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 4x=\pm левая круг­лая скоб­ка Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но 4x=\pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z рав­но­силь­но x=\pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z.

б)  Отбор кор­ней сде­ла­ем путем пе­ре­бо­ра под­хо­дя­щих зна­че­ний n.

Из серии кор­ней дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z:

За­ме­тим, что от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния n здесь не по­дой­дут. Зна­че­ние n=0 тоже не под­хо­дит, так как

дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 3,2, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 2.

При n=1:x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби . До­ка­жем, что 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 4.

Для этого до­ста­точ­но до­ка­зать: дробь: чис­ли­тель: 17 умно­жить на 3,2, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 4, дробь: чис­ли­тель: 17 умно­жить на 3,1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби боль­ше 2.

Дей­стви­тель­но, дробь: чис­ли­тель: 17 умно­жить на 3,2, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 4 рав­но­силь­но 54,4 мень­ше 96, дробь: чис­ли­тель: 17 умно­жить на 3,1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби боль­ше 2 рав­но­силь­но 52,7 боль­ше 48.

При n = 2:

x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс Пи = дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 29 умно­жить на 3,2, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 4 рав­но­силь­но 92,8 мень­ше 96, дробь: чис­ли­тель: 29 умно­жить на 3,1, зна­ме­на­тель: конец дроби 24 боль­ше 2 рав­но­силь­но 89,9 боль­ше 48.

При n = 3:

x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 41 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 41 умно­жить на 3,1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби боль­ше 4 рав­но­силь­но 127,1 боль­ше 96.

Этот ко­рень уже не под­хо­дит. Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из этой серии смыс­ла не имеют.

Из серии кор­ней минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z:

При от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях n,n=0, не­слож­но по­нять, ис­ко­мых кор­ней не будет.

При n = 1:

x= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 умно­жить на 3,2, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 2 рав­но­силь­но 22,4 мень­ше 48.

Ко­рень не под­хо­дит.

 

При n = 2:

x= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс Пи = дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 19 умно­жить на 3,2, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби мень­ше 4 рав­но­силь­но 60,8 мень­ше 96, дробь: чис­ли­тель: 19 умно­жить на 3,1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби боль­ше 2 рав­но­силь­но 58,9 боль­ше 48.

При n = 3: x= минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; Но дробь: чис­ли­тель: 31 умно­жить на 3,1, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби боль­ше 4 рав­но­силь­но 96,1 боль­ше 96.

Ко­рень не под­хо­дит, даль­ней­шие по­ис­ки про­сто из­лиш­ни.

 

Ответ: а) \pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z. б) дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы двой­но­го угла
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025