Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508190
i

Дано урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: \left| ко­си­нус x |, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби плюс 2=2 синус x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка 8,5;14,5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что  ко­си­нус x мень­ше 0, так при  ко­си­нус x боль­ше 0  синус x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , что не­воз­мож­но.

При  ко­си­нус x мень­ше 0 имеем:

2 синус x=2 минус 1 рав­но­силь­но 2 синус x=1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка ко­си­нус x мень­ше 0  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z.

б)  Сде­ла­ем вы­бор­ку кор­ней:

Ясно, что ис­ко­мые корни стро­го по­ло­жи­тель­ны. Ко­рень  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби не по­дой­дет, по­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 2 Пи мень­ше 8,5. Сле­ду­ю­щий по­ло­жи­тель­ный ко­рень равен  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи = дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

До­ка­жем, что 8,5 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . Дей­стви­тель­но, 8,5 умно­жить на 6 мень­ше 17 Пи рав­но­силь­но 0,5 умно­жить на 6 мень­ше Пи рав­но­силь­но 3 мень­ше Пи (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

До­ка­жем, что  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 14,5. На самом деле, 17 Пи мень­ше 14,5 умно­жить на 6 рав­но­силь­но 17 Пи мень­ше 87.

Из­вест­но, что  Пи мень­ше 4 рав­но­силь­но 17 Пи мень­ше 68. Но и 68 мень­ше 87. Зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 14,5.

Сле­ду­ю­щий по­ло­жи­тель­ный ко­рень, иду­щий за  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , будет равен  дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , ко­то­рый пре­вос­хо­дит 14, 5. До­ка­жем это.

 дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби боль­ше 14,5 рав­но­силь­но 29 Пи боль­ше 14,5 умно­жить на 6 рав­но­силь­но Пи боль­ше 0,5 умно­жить на 6 рав­но­силь­но Пи боль­ше 3

(не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней смыс­ла не имеют.

 

Ответ: а)  дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z; б)  дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105
Классификатор алгебры: Мо­дуль числа, мо­дуль вы­ра­же­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций