Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508655
i

Дано урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 ко­си­нус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _3 левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние 1.

а)  Огра­ни­че­ние на х: тан­генс x боль­ше 0, т. е. Пи n мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z

За­дан­ное урав­не­ние будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве, эле­мен­ты ко­то­ро­го удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ствам, ука­зан­ным выше.

левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 ко­си­нус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \log _3 левая круг­лая скоб­ка тан­генс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 16 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка тан­генс x=1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 3\pm 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=2, ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти .x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ние ко­си­нус x=2 ре­ше­ний не имеет.

б)   Вы­бор­ку кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

x_1= Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;x_2= Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z; минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z. б) дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ре­ше­ние 2.

а)  Слу­чай 1. ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 тан­генс x=0, тан­генс x=1, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k.

Слу­чай 2. 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 ко­си­нус x минус 2=0, от­ку­да ко­си­нус x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или ко­си­нус x=2 (что не­воз­мож­но). Тогда x=\pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, при­чем тан­генс x боль­ше 0, от­ку­да x= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k.

б)  от­рез­ку при­над­ле­жат точки дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ а) x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; б) дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025