Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 511829
i

Дано урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: \ctg x плюс 3, зна­ме­на­тель: тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =\ctg дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

А)  Ре­ши­те урав­не­ние.

Б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

А) Для удоб­ства пре­об­ра­зу­ем чис­ли­тель и зна­ме­на­тель левой части урав­не­ния по от­дель­но­сти, при­во­дя их к си­ну­су и ко­си­ну­су. За­ме­тим также, что \ctg дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

\ctg x плюс 3= дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби плюс 3= дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс 3 синус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби ;

тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби синус x плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ко­си­нус x минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x конец дроби .

Огра­ни­че­ния на x: синус x не равно 0, тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0.

Для таких x:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x плюс 3 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x минус синус x умно­жить на ко­си­нус x минус 3 синус в квад­ра­те x плюс 3 синус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x умно­жить на ко­си­нус x синус x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3, зна­ме­на­тель: ко­си­нус конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те конец дроби x плюс левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус x умно­жить на ко­си­нус x синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0   рав­но­силь­но   дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =0.

 

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x=0 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус x плюс левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус x=0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус x=0 , новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка тан­генс x=0. конец со­во­куп­но­сти .

 

ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z .

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка тан­генс x=0 рав­но­силь­но тан­генс x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 конец дроби рав­но­силь­но x= минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z .

При по­лу­чен­ных зна­че­ни­ях х вы­ра­же­ние синус x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка не равно 0.

Б)  Так как нам задан от­ре­зок левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то все ис­ко­мые корни по­лу­чим из двух серий кор­ней, ука­зан­ных выше, при n=0.

Та­ко­вы­ми будут числа вида: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , Пи минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: А) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z ; минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 конец дроби плюс Пи n, n при­над­ле­жит Z . Б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , Пи минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025